Документация

Пример: Функция абсолютного значения

Рассмотрите задачу с начальными значениями

решенный на интервале с начальным условием. Решение этого ОДУ затухает, чтобы обнулить. Если решатель производит отрицательное значение решения, то он начинает отслеживать решение ОДУ через это значение, и вычисление в конечном счете перестало работать, когда расчетное решение отличается к. Используя NonNegative опция предотвращает этот отказ интегрирования.

Сравните аналитическое решение с решением ОДУ с помощью ode45 без дополнительных опций, и одной с набором опции NonNegative.

ode = @(t,y) -abs(y);

% Standard solution with |ode45|
options1 = odeset('Refine',1);
[t0,y0] = ode45(ode,[0 40],1,options1);

% Solution with nonnegative constraint
options2 = odeset(options1,'NonNegative',1);
[t1,y1] = ode45(ode,[0 40],1,options2);

% Analytic solution
t = linspace(0,40,1000);
y = exp(-t);

Постройте график этих трех решений для сравнения. Внушительная неотрицательность крайне важна, чтобы помешать решению повернуть прочь к.

plot(t,y,'b-',t0,y0,'ro',t1,y1,'k*');
legend('Exact solution','No constraints','Nonnegativity', ...
       'Location','SouthWest')

Пример: Проблема колена

Другим примером проблемы, которая требует неотрицательного решения, является проблема колена, закодированная в файле в качестве примера kneeode. Уравнение

решенный на интервале с начальным условием. Параметр обычно берется, чтобы удовлетворить, и эта проблема использование. Решение этого ОДУ приближается для и для. Однако вычисление числового решения с допусками по умолчанию показывает, что решение следует за изоклиной для целого интервала интегрирования. Внушительные ограничения неотрицательности приводят к правильному решению.

Решите проблему колена с и без ограничений неотрицательности.

epsilon = 1e-6;
y0 = 1;
xspan = [0 2];
odefcn = @(x,y,epsilon) ((1-x)*y - y^2)/epsilon;

% Solve without imposing constraints
[x1,y1] = ode15s(@(x,y) odefcn(x,y,epsilon), xspan, y0);

% Impose a nonnegativity constraint
options = odeset('NonNegative',1);
[x2,y2] = ode15s(@(x,y) odefcn(x,y,epsilon), xspan, y0, options);

Постройте график решений для сравнения.

plot(x1,y1,'ro',x2,y2,'b*')
axis([0,2,-1,1])
title('The "knee problem"')
legend('No constraints','Non-negativity')
xlabel('x')
ylabel('y')

Ссылки

[1] Шемпин, L.F., S. Томпсон, J.A. Кирженка и Бирн G.D., "Неотрицательные решения ОДУ", Прикладная математика и Издание 170, 2005 Вычисления, стр 556-569.