Этот пример показывает, как смоделировать маятник Фуко. Маятник Фуко был детищем французского физика Леона Фуко. Это было предназначено, чтобы доказать, что Земля вращает вокруг ее оси. Плоскость колебания маятника Фуко вращает в течение дня в результате осевого вращения Земли. Плоскость колебания завершает целый круг во временном интервале T, который зависит от географической широты.
Самый известный маятник Фуко был установлен в Парижском Пантеоне. Это было 28-килограммовой металлической сферой, присоединенной к проводу 67 метров длиной. Этот пример моделирует маятник 67 метров длиной в географической широте Парижа.
Самый простой способ решить проблему маятника Фуко в Simulink® состоит в том, чтобы создать модель, которая решает двойные дифференциальные уравнения для системы. Эту модель показывают в рисунке 1. Уравнения, которые описывают маятник Фуко, даны ниже. Для получения дополнительной информации на физике модели и деривации этих уравнений, смотрите Анализ и Физику.
Введите sldemo_foucault в Командном окне MATLAB®, чтобы открыть эту модель. Эта модель регистрирует соответствующие данные к MATLAB workspace в структуре под названием sldemo_foucault_output. Регистрируемые сигналы имеют синий индикатор. Читайте больше о сигнале, входящем в систему Справка Simulink.
Рисунок 1: модель маятника Фуко
Эта модель загружает константы и начальные условия из файла sldemo_foucault_data.m. Содержимое этого файла показывают в Таблице 1 ниже. Можно изменить параметры моделирования непосредственно в MATLAB workspace. Начальная амплитуда маятника должна быть маленькой по сравнению с длиной маятника, потому что дифференциальные уравнения допустимы только для маленьких колебаний.
Таблица 1: Начальные условия
g = 9.83; % acceleration of gravity (m/sec^2) L = 67; % pendulum length (m) initial_x = L/100; % initial x coordinate (m) initial_y = 0; % initial y coordinate (m) initial_xdot = 0; % initial x velocity (m/sec) initial_ydot = 0; % initial y velocity (m/sec) Omega=2*pi/86400; % Earth's angular velocity of rotation about its axis (rad/sec) lambda=49/180*pi; % latitude in (rad)
Нажмите кнопку "Play" на панели инструментов на образцовом окне, чтобы запустить моделирование. Моделирование будет использовать переменный шаг жесткий решатель, ode23t. Это моделирует маятник Фуко в течение 3 600 секунд (можно изменить время симуляции). Модель использует относительный допуск по умолчанию RelTol = 1e-6.
Рисунок 2: результаты симуляции маятника Фуко (время симуляции 3 600 секунд)
Результаты симуляции показывают в рисунке 2 выше. Моделирование вычисляет координаты x и y маятника и скоростные компоненты x и y маятника.
Плоскость колебания маятника завершает 360 разверток градуса больше чем за 24 часа. Период развертки является функцией географической широты lambda (см. деривацию в Анализе и Физике).
Рисунок 3: блок Animation показывает, сколько плоскость колебания маятника вращает за час
После того, как вы запуститесь, моделирование, дважды щелкают по блоку анимации, чтобы анимировать результаты.
Примечание: "Анимационные Результаты" фрагмент примера требуют Обработки сигналов Toolbox™. Двойной клик на блоке анимации вызовет ошибку, если это не будет установлено. Все другие части примера будут функционировать правильно без Signal Processing Toolbox.
Файл sldemo_foucault_animate.m строит график положения боба маятника в различных моментах времени. Можно ясно видеть, как плоскость колебания маятника вращает.
Примечание: Если вы запустите моделирование в большом относительном допуске, результат будет численно нестабилен за длительный период времени. Убедитесь, что вы используете жесткий решатель переменного шага. Читайте больше о числовой нестабильности жестких проблем и производительности решателя в "Решателях Переменного Шага исследования Используя Жесткий Образцовый" пример.
Закройте модель. Очистите сгенерированные данные.
Этот раздел анализирует маятник Фуко и описывает физику позади него. Маятник может быть смоделирован как масса точки, приостановленная на проводе длины L. Маятник расположен в географической широте lambda. Удобно использовать ссылочные кадры, показанные в рисунке 4: инерционный кадр I (относительно центра Земли) и неинерционный кадр N (относительно наблюдателя на поверхности Земли). Неинерционный кадр ускоряется в результате вращения.
Рисунок 4: инерционные и неинерционные кадры для проблемы
Точка O является источником неинерционного кадра N. Это - точка на поверхности земли ниже точки приостановки маятника. Не инерционный кадр выбран таким образом, что ось z указывает далеко от центра Земли и перпендикулярна поверхности Земли. Ось X указывает юг, и ось Y указывает запад.
Как упомянуто во введении, плоскость колебания маятника Фуко вращает. Плоскость колебания завершает полное вращение во время Trot, данный следующей формулой, где Tday является длительностью одного дня (i. e. время это берет Землю, чтобы вращаться вокруг ее оси однажды).
Фактор синуса требует дальнейшего обсуждения. Это часто неправильно принимается, что плоскость колебания маятника фиксируется в инерционном кадре относительно центра Земли. Это только верно в северных и южных полюсах. Чтобы устранить этот беспорядок, думайте о точке S (см. рисунок 4), где маятник приостановлен. В инерционном кадре I, точка S перемещается в круг. Боб маятника приостановлен на проводе постоянной длины. Поскольку простота игнорирует воздушное трение. В инерционном кадре I, существует только две силы, которые действуют на боба - проводная сила T и гравитационная сила Fg.
Векторный r дает положение боба маятника, B (см. рисунок 4). Второй закон ньютона утверждает, что сумма всех сил, действующих на тело, равняется массовым временам ускорение тела.
Всюду по этому доказательству точки обозначают производные времени, стрелки обозначают векторы, прописные буквы обозначают унитарные векторы (i, j, и k вдоль x, y, и оси z). Точка выше векторной стрелки указала на производную времени вектора. Стрелка выше точки указала на вектор производной времени. Смотрите различие между общим ускорением и радиальным ускорением ниже.
Общее ускорение:
Радиальное ускорение:
Ускорение силы тяжести указывает на центр земли (отрицательное z-направление).
Анализируйте ускоряющий термин:
Производные времени единичных векторов появляются, потому что неинерционный ссылочный кадр N вращает на пробеле. Это означает, что унитарные векторы i, j, и k вращают на пробеле. Их производные времени даны ниже. Омега является угловой скоростью Земли оборота вокруг ее оси. Скалярная Омега является значением угловой скорости. Векторная Омега является векторной угловой скоростью. Его направление определяется правилом правой руки.
Перепишите производную времени вектора r относительно Омеги.
Точно так же выразите производную второго раза вектора r.
Чтобы упростить это уравнение, примите, что Омега для Земли является очень маленькой. Это позволяет нам игнорировать третий срок в уравнении выше. На самом деле второй срок (который уже намного меньше, чем первый срок) является четырьмя порядками величины, больше, чем третий срок. Это уменьшает уравнение до следующей формы:
Второй Закон ньютона может издаваться и анализироваться в x, y, и z компоненты можно следующим образом:
Угловая амплитуда колебаний является маленькой. Поэтому мы можем проигнорировать вертикальную скорость и вертикальное ускорение (z-точка и z-double-dot). Компоненты натяжения струн могут быть выражены с помощью малых угловых приближений, которые также значительно упрощают проблему, делая его двумерным (см. ниже).
Наконец физика проблемы может быть описана системой двойных уравнений, данных ниже. Координаты x и y задают положение боба маятника, как замечено наблюдателем на Земле.
Следующее является аналитическим решением проблемы маятника Фуко. К сожалению, это не точно. При попытке заменить аналитическим решением в дифференциальные уравнения, неотмененные условия порядка Омега придали квадратную форму, останется. Однако, потому что Омега является очень маленькой, мы можем проигнорировать неотмененные условия практически.
Во время деривации условия, включающие Омегу, придали квадратную форму, были проигнорированы. Это привело к xy симметрии в дифференциальных уравнениях. Если условия Омеги в квадрате учтены, система дифференциального уравнения становится асимметричной (см. ниже).
Можно легко изменить текущую модель маятника Фуко, чтобы составлять асимметричные дифференциальные уравнения. Просто отредактируйте соответствующие блоки Усиления, которые содержат g/L и добавляют необходимое выражение. Это изменение представит очень маленькое полное исправление числовому результату.
