Создание непрерывно-разовых моделей

Этот пример показывает, как создать непрерывно-разовые линейные модели с помощью tf, zpk, ss и команд frd.

Типы модели LTI

Control System Toolbox™ обеспечивает функции для создания четырех основных представлений моделей линейного независимого от времени (LTI):

Модели передаточной функции (TF)
Модели (ZPK) нулей и полюсов
Модели пространства состояний (SS)
Модели данных о частотной характеристике (FRD)

Эти функции берут данные модели в качестве входа и создают объекты, которые воплощают эти данные в одной переменной MATLAB®.

Создание моделей передаточной функции

Передаточные функции (TF) являются представлениями частотного диапазона систем LTI. Передаточная функция SISO является отношением полиномов:

$H (s) = \frac{A (s)}{B (s)} = \frac{a_{1} s^{n} + a_{2} s^{n - 1} + \dots + a_{n + 1}}{b_{1} s^{m} + b_{2} s^{m - 1} + \dots + b_{m + 1}}$

Передаточные функции заданы их числителем и полиномами знаменателя A(s) и B(s). В MATLAB полином представлен вектором его коэффициентов, например, полинома

$s^{2} + 2 s + 10$

задан как [1 2 10].

Создать объект TF, представляющий передаточную функцию:

$H (s) = \frac{s}{s^{2} + 2 s + 10}$

задайте числитель и полиномы знаменателя и используйте tf, чтобы создать объект TF:

num = [ 1  0 ];       % Numerator: s
den = [ 1  2  10 ];   % Denominator: s^2 + 2 s + 10
H = tf(num,den)

H =
 
        s
  --------------
  s^2 + 2 s + 10
 
Continuous-time transfer function.

Также можно задать эту модель как рациональное выражение переменной s Лапласа:

s = tf('s');        % Create Laplace variable
H = s / (s^2 + 2*s + 10)

H =
 
        s
  --------------
  s^2 + 2 s + 10
 
Continuous-time transfer function.

Создание моделей нулей и полюсов

Модели (ZPK) нулей и полюсов являются учтенной формой передаточных функций:

$H (s) = k \frac{(s - z_{1}) \dots (s - z_{n})}{(s - p_{1}) \dots (s - p_{m})}$

Такие модели представляют корни z числителя (нули) и корни p знаменателя (полюса). Скалярный коэффициент k называется усилением.

Создать модель ZPK:

$H (s) = \frac{- 2 s}{(s - 2) (s^{2} - 2 s + 2)}$

задайте векторы полюсов и нулей и усиления k:

z = 0;                   % Zeros
p = [ 2  1+i  1-i ];     % Poles
k = -2;                  % Gain
H = zpk(z,p,k)

H =
 
          -2 s
  --------------------
  (s-2) (s^2 - 2s + 2)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

Что касается моделей TF, можно также задать эту модель как рациональное выражение s:

s = zpk('s');
H = -2*s / (s - 2) / (s^2 - 2*s + 2)

H =
 
          -2 s
  --------------------
  (s-2) (s^2 - 2s + 2)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

Создание моделей в пространстве состояний

Модели пространства состояний (SS) являются представлениями временного интервала систем LTI:

$\frac{d x}{d t} = A x (t) + B u (t)$

$y (t) = C x (t) + D u (t)$

где x(t) является вектором состояния, u(t) является входным вектором, и y(t) является выходной траекторией.

Модели в пространстве состояний выведены от дифференциальных уравнений, описывающих системную динамику. Например, рассмотрите ОДУ второго порядка для простого электродвигателя:

$\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + 2 \frac{d θ}{d t} + 5 θ = 3 I$

где I является ведущим током (вход), и theta является угловым смещением ротора (вывод). Это ОДУ может быть переписано в форме пространства состояний как:

$\frac{d x}{d t} = A x + B I A = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 5 & - 2 \end{matrix}] B = [\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}] x = [\begin{matrix} θ \\ \frac{d θ}{d t} \end{matrix}]$

$θ = C x + D I C = [10] D = [0]$

Чтобы создать эту модель, задайте матрицы пространства состояний A, B, C, D и используйте ss, чтобы создать объект SS:

A = [ 0  1 ; -5  -2 ];
B = [ 0 ; 3 ];
C = [ 1  0 ];
D = 0;
H = ss(A,B,C,D)

H =
 
  A = 
       x1  x2
   x1   0   1
   x2  -5  -2
 
  B = 
       u1
   x1   0
   x2   3
 
  C = 
       x1  x2
   y1   1   0
 
  D = 
       u1
   y1   0
 
Continuous-time state-space model.

Создание моделей данных частотной характеристики

Модели данных о частотной характеристике (FRD) позволяют вам сохранить измеренную или моделируемую комплексную частотную характеристику системы в объекте LTI. Можно затем использовать эти данные в качестве суррогатной модели в целях анализа и проектирования частотного диапазона.

Например, предположите, что вы вытаскиваете следующие данные из частоты анализатор:

Частота (Гц): 10, 30, 50, 100, 500
Ответ: 0.0021+0.0009i, 0.0027+0.0029i, 0.0044+0.0052i, 0.0200-0.0040i, 0.0001-0.0021i

Можно создать объект FRD, содержащий это использование данных:

freq = [10, 30, 50, 100, 500];
resp = [0.0021+0.0009i, 0.0027+0.0029i, 0.0044+0.0052i, 0.0200-0.0040i, 0.0001-0.0021i];
H = frd(resp,freq,'Units','Hz')

H =
 
    Frequency(Hz)           Response       
    -------------           --------       
          10         2.100e-03 + 9.000e-04i
          30         2.700e-03 + 2.900e-03i
          50         4.400e-03 + 5.200e-03i
         100         2.000e-02 - 4.000e-03i
         500         1.000e-04 - 2.100e-03i
 
Continuous-time frequency response.

Обратите внимание на то, что значения частоты приняты, чтобы быть в rad/s, если вы не задаете Units, чтобы быть Герц.

Создание моделей MIMO

tf, zpk, ss и команды frd позволяют вам создать обе модели SISO и MIMO. Для моделей TF или ZPK часто удобно создать модели MIMO путем конкатенации более простых моделей SISO. Например, можно создать 2x2 передаточная функция MIMO:

$H (s) = [\begin{array}{cc} \frac{1}{s + 1} & 0 \\ \frac{s + 1}{s^{2} + s + 3} & \frac{- 4 s}{s + 2} \end{array}]$

использование:

s = tf('s');
H = [ 1/(s+1) , 0 ; (s+1)/(s^2+s+3) , -4*s/(s+2) ]

H =
 
  From input 1 to output...
         1
   1:  -----
       s + 1
 
          s + 1
   2:  -----------
       s^2 + s + 3
 
  From input 2 to output...
   1:  0
 
       -4 s
   2:  -----
       s + 2
 
Continuous-time transfer function.

Анализ моделей LTI

Control System Toolbox обеспечивает обширный набор функций для анализа моделей LTI. Эти функции колеблются от простых запросов о размере ввода-вывода и порядке к сложному времени и анализу частотной характеристики.

Например, можно получить информацию о размере для передаточной функции MIMO H, заданный выше путем ввода:

size(H)

Transfer function with 2 outputs and 2 inputs.

Можно вычислить использование полюсов:

pole(H)

ans = 4×1 complex

  -1.0000 + 0.0000i
  -0.5000 + 1.6583i
  -0.5000 - 1.6583i
  -2.0000 + 0.0000i

Можно спросить, является ли эта система стабильным использованием:

isstable(H)

ans = logical
   1

Наконец, можно построить переходной процесс путем ввода:

step(H)

Дополнительную информацию см. в примерах Анализа модели.

Документация