Нелинейные Ограничения Используя ga

Нелинейные ограничения Используя `ga`

Предположим, что вы хотите минимизировать простую функцию фитнеса двух переменных x ₁ и x ₂,

$\min_{x} f (x) = 100 {(x_{}^{12} - x_{2})}^{2} + {(1 - x_{1})}^{2}$

подвергните следующим нелинейным ограничениям неравенства и границам

$\begin{array}{l} x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} - x_{2} + 1.5 \leq 0 & (нелинейное ограничение) \\ 10 - x_{1} \cdot x_{2} \leq 0 & (нелинейное ограничение) \\ 0 \leq x_{1} \leq 1 & (связанный) \\ 0 \leq x_{2} \leq 13 & (связанный) \end{array}$

Начните путем создания ограничительных функций и фитнеса. Во-первых, создайте файл с именем simple_fitness.m можно следующим образом:

function y = simple_fitness(x)
y = 100*(x(1)^2 - x(2))^2 + (1 - x(1))^2;

(simple_fitness.m поставляется с программным обеспечением Global Optimization Toolbox.)

Функция генетического алгоритма, ga, принимает, что функция фитнеса возьмет один вход x, где x имеет столько же элементов сколько количество переменных в проблеме. Функция фитнеса вычисляет значение функции и возвращает то скалярное значение в его одном возвращаемом аргументе, y.

Затем создайте файл, simple_constraint.m, содержа ограничения

function [c, ceq] = simple_constraint(x)
c = [1.5 + x(1)*x(2) + x(1) - x(2);...
-x(1)*x(2) + 10];
ceq = [];

Функция ga принимает, что ограничительная функция возьмет один вход x, где x имеет столько же элементов сколько количество переменных в проблеме. Ограничительная функция вычисляет значения всех ограничений неравенства и равенства и возвращает два вектора, c и ceq, соответственно.

Чтобы минимизировать функцию фитнеса, необходимо передать указатель на функцию функции фитнеса в качестве первого аргумента к функции ga, а также определение количества переменных в качестве второго аргумента. Нижние и верхние границы обеспечиваются как LB и UB соответственно. Кроме того, также необходимо передать указатель на функцию нелинейной ограничительной функции.

ObjectiveFunction = @simple_fitness;
nvars = 2;    % Number of variables
LB = [0 0];   % Lower bound
UB = [1 13];  % Upper bound
ConstraintFunction = @simple_constraint;
rng(1,'twister') % for reproducibility
[x,fval] = ga(ObjectiveFunction,nvars,...
    [],[],[],[],LB,UB,ConstraintFunction)

Optimization terminated: average change in the fitness value less than options.FunctionTolerance
 and constraint violation is less than options.ConstraintTolerance.

x =

    0.8123   12.3137


fval =

   1.3581e+04

Для проблем без целочисленных ограничений решатель генетического алгоритма обрабатывает линейные ограничения и границы по-другому по сравнению с нелинейными ограничениями. Все линейные ограничения и границы удовлетворены в течение оптимизации. Однако ga не может удовлетворить все нелинейные ограничения при каждой генерации. Если ga будет сходиться к решению, нелинейные ограничения будут удовлетворены в том решении.

Если существуют целочисленные ограничения, ga не осуществляет выполнимость линейных ограничений, и вместо этого добавляет любые линейные ограничительные нарушения в функцию штрафа. Смотрите Целое число ga Алгоритм.

ga использует мутацию и перекрестные функции, чтобы произвести новых людей при каждой генерации. ga удовлетворяет линейные и связанные ограничения при помощи мутации и перекрестных функций, которые только генерируют допустимые точки. Например, в предыдущем вызове ga, функция мутации mutationguassian не обязательно повинуется связанным ограничениям. Таким образом, когда там связаны или линейные ограничения, функцией мутации ga по умолчанию является mutationadaptfeasible. Если вы обеспечиваете пользовательскую функцию мутации, эта пользовательская функция должна только сгенерировать точки, которые выполнимы относительно линейных и связанных ограничений. Все включенные перекрестные функции генерируют точки, которые удовлетворяют линейные ограничения и границы кроме функции crossoverheuristic.

Чтобы видеть прогресс оптимизации, используйте функцию optimoptions, чтобы создать опции тот выбор две функции построения графика. Первой функцией построения графика является gaplotbestf, который строит лучший и средний счет генеральной совокупности при каждой генерации. Второй функцией построения графика является gaplotmaxconstr, который строит максимальное ограничительное нарушение нелинейных ограничений при каждой генерации. Можно также визуализировать прогресс алгоритма путем отображения информации к командному окну с помощью опции 'Display'.

options = optimoptions('ga','PlotFcn',{@gaplotbestf,@gaplotmaxconstr},'Display','iter');

Повторно выполните решатель ga.

[x,fval] = ga(ObjectiveFunction,nvars,[],[],[],[],...
              LB,UB,ConstraintFunction,options)

                              Best       Max        Stall
Generation  Func-count        f(x)     Constraint  Generations
    1           2670       13603.6            0      0
    2           5282       13578.2    5.718e-06      0
    3           7994       14033.9            0      0
    4          11794       13573.7    0.0009577      0
Optimization terminated: average change in the fitness value less than options.FunctionTolerance
 and constraint violation is less than options.ConstraintTolerance.

x =

    0.8122   12.3104


fval =

   1.3574e+04

Можно обеспечить стартовую точку для минимизации к функции ga путем определения опции InitialPopulationMatrix. Функция ga будет использовать первого человека от InitialPopulationMatrix как стартовая точка для ограниченной минимизации.

X0 = [0.5 0.5]; % Start point (row vector)
options = optimoptions('ga',options,'InitialPopulationMatrix',X0);

Теперь, повторно выполните решатель ga.

[x,fval] = ga(ObjectiveFunction,nvars,[],[],[],[],...
              LB,UB,ConstraintFunction,options)

                              Best       Max        Stall
Generation  Func-count        f(x)     Constraint  Generations
    1           2670       13578.1    0.0005269      0
    2           5282       13578.2    1.815e-05      0
    3           8494       14031.3            0      0
    4          14356       14054.9            0      0
    5          18706       13573.5    0.0009986      0
Optimization terminated: average change in the fitness value less than options.FunctionTolerance
 and constraint violation is less than options.ConstraintTolerance.

x =

    0.8122   12.3103


fval =

   1.3573e+04

Документация