Функции Two MATLAB® могут смоделировать ваши данные с полиномом.
Функции аппроксимации полиномом
Функция | Описание |
---|---|
| |
|
Этот пример показывает, как моделировать данные с помощью полинома.
Измерьте количество y
в нескольких значениях времени t
.
t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]; y = [0.6 0.67 1.01 1.35 1.47 1.25]; plot(t,y,'o') title('Plot of y Versus t')
Можно попытаться моделировать эти данные с помощью полиномиальной функции второй степени,
Неизвестные коэффициенты, , , и , вычисляются путем минимизации суммы квадратов отклонений данных из модели (подгонка наименьших квадратов).
Используйте polyfit
, чтобы найти полиномиальные коэффициенты.
p = polyfit(t,y,2)
p = 1×3
-0.2942 1.0231 0.4981
MATLAB вычисляет полиномиальные коэффициенты в убывающих степенях.
Полиномиальная модель второй степени данных дана уравнением
Оцените полином в однородно расположенные с интервалами времена, t2
. Затем отобразите на графике исходные данные и модель на том же графике.
t2 = 0:0.1:2.8; y2 = polyval(p,t2); figure plot(t,y,'o',t2,y2) title('Plot of Data (Points) and Model (Line)')
Оцените модель во временном векторе данных
y2 = polyval(p,t);
Вычислите невязки.
res = y - y2;
Постройте невязки.
figure, plot(t,res,'+') title('Plot of the Residuals')
Заметьте, что подгонка второй степени примерно следует за основной формой данных, но не получает плавную кривую, на которой данные, кажется, лежат. В невязках, кажется, существует шаблон, который указывает, что различная сила модели необходима. Полином пятой степени (показанный затем) делает лучшее задание следующих колебания данных.
Повторите осуществление, на этот раз с помощью полинома пятой степени от polyfit
.
p5 = polyfit(t,y,5)
p5 = 1×6
0.7303 -3.5892 5.4281 -2.5175 0.5910 0.6000
Оцените полином в t2
и постройте подгонку сверху данных в новом окне рисунка.
y3 = polyval(p5,t2); figure plot(t,y,'o',t2,y3) title('Fifth-Degree Polynomial Fit')
При попытке смоделировать физическую ситуацию, всегда важно рассмотреть, значима ли модель определенного порядка в вашей ситуации.
Этот пример показывает, как соответствовать данным линейной моделью, содержащей неполиномиальные условия.
Когда полиномиальная функция не производит удовлетворительную модель ваших данных, можно попытаться использовать линейную модель с неполиномиальными условиями. Например, рассмотрите следующую функцию, которая линейна в параметрах , , и , но нелинейный в данные:
Можно вычислить неизвестные коэффициенты , , и путем построения и решения набора одновременных уравнений и решения для параметров. Следующий синтаксис выполняет это путем формирования матрицы проекта, где каждый столбец представляет переменную, используемую, чтобы предсказать ответ (член в модели), и каждая строка соответствует одному наблюдению за теми переменными.
Введите t
и y
как вектор-столбцы.
t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]'; y = [0.6 0.67 1.01 1.35 1.47 1.25]';
Сформируйте матрицу проекта.
X = [ones(size(t)) exp(-t) t.*exp(-t)];
Вычислите коэффициенты модели.
a = X\y
a = 3×1
1.3983
-0.8860
0.3085
Поэтому моделью данных дают
Теперь оцените модель в расположенных с равными интервалами точках и постройте модель с исходными данными.
T = (0:0.1:2.5)'; Y = [ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*a; plot(T,Y,'-',t,y,'o'), grid on title('Plot of Model and Original Data')
Этот пример показывает, как использовать множественную регрессию для данных модели, которые являются функцией больше чем одной переменной прогноза.
Когда y является функцией больше чем одной переменной прогноза, матричные уравнения, которые выражают отношения среди переменных, должны быть расширены, чтобы хранить дополнительные данные. Это называется множественной регрессией.
Измерьте количество для нескольких значений и . Сохраните эти значения в векторах x1
, x2
и y
, соответственно.
x1 = [.2 .5 .6 .8 1.0 1.1]'; x2 = [.1 .3 .4 .9 1.1 1.4]'; y = [.17 .26 .28 .23 .27 .24]';
Модель этих данных имеет вид
Множественная регрессия определяет неизвестные коэффициенты , , и путем минимизации суммы квадратов отклонений данных из модели (подгонка наименьших квадратов).
Создайте и решите набор одновременных уравнений путем формирования матрицы проекта, X
.
X = [ones(size(x1)) x1 x2];
Решите для параметров при помощи оператора наклонной черты влево.
a = X\y
a = 3×1
0.1018
0.4844
-0.2847
Наименьшие квадраты соответствуют, модель данных
Чтобы подтвердить модель, найдите максимум абсолютного значения отклонения данных из модели.
Y = X*a; MaxErr = max(abs(Y - y))
MaxErr = 0.0038
Это значение намного меньше, чем любое из значений данных, указывая, что эта модель точно следует за данными.
Этот пример показывает, как использовать функции MATLAB для:
Загрузите демонстрационные данные о переписи из census.mat
, который содержит американские данные о населении с лет 1790 - 1990.
load census
Это добавляет следующие две переменные в рабочее пространство MATLAB.
cdate
является вектор-столбцом, содержащим годы 1790 - 1990 с шагом 10.
pop
является вектор-столбцом с американской численностью населения, соответствующей каждый год в cdate
.
Отобразите данные на графике.
plot(cdate,pop,'ro') title('U.S. Population from 1790 to 1990')
График показывает сильный шаблон, который указывает на высокую корреляцию между переменными.
В этом фрагменте примера вы определяете статистическую корреляцию между переменными cdate
и pop
, чтобы выровнять по ширине моделирование данных. Для получения дополнительной информации о коэффициентах корреляции, смотрите Линейную корреляцию.
Вычислите матрицу коэффициента корреляции.
corrcoef(cdate,pop)
ans = 2×2
1.0000 0.9597
0.9597 1.0000
Диагональные элементы матрицы представляют совершенную корреляцию каждой переменной с собой и равны 1. Недиагональные элементы очень близко к 1, указывая, что существует сильная статистическая корреляция между переменными cdate
и pop
.
Этот фрагмент примера применяет polyfit
и функции MATLAB polyval
, чтобы смоделировать данные.
Вычислите подходящие параметры.
[p,ErrorEst] = polyfit(cdate,pop,2);
Оцените подгонку.
pop_fit = polyval(p,cdate,ErrorEst);
Отобразите на графике данные и подгонку.
plot(cdate,pop_fit,'-',cdate,pop,'+'); title('U.S. Population from 1790 to 1990') legend('Polynomial Model','Data','Location','NorthWest'); xlabel('Census Year'); ylabel('Population (millions)');
График показывает, что квадратичная аппроксимация полиномом предоставляет хорошее приближение данным.
Вычислите невязки для этой подгонки.
res = pop - pop_fit; figure, plot(cdate,res,'+') title('Residuals for the Quadratic Polynomial Model')
Заметьте, что график невязок показывает шаблон, который указывает, что полиномиальная сила второй степени не подходит для моделирования этих данных.
Доверительные границы являются доверительными интервалами для предсказанного ответа. Ширина интервала указывает на степень уверенности в соответствии.
Этот фрагмент примера применяет polyfit
и polyval
к выборочным данным census
, чтобы произвести доверительные границы для полиномиальной модели второго порядка.
Следующий код использует интервал , который соответствует 95%-му доверительному интервалу для больших выборок.
Оцените подгонку и ошибочную оценку прогноза (дельта).
[pop_fit,delta] = polyval(p,cdate,ErrorEst);
Отобразите на графике данные, подгонку и доверительные границы.
plot(cdate,pop,'+',... cdate,pop_fit,'g-',... cdate,pop_fit+2*delta,'r:',... cdate,pop_fit-2*delta,'r:'); xlabel('Census Year'); ylabel('Population (millions)'); title('Quadratic Polynomial Fit with Confidence Bounds') grid on
95%-й интервал указывает, что у вас есть 95%-й шанс, что новое наблюдение будет находиться в пределах границ.