Этот пример показывает, как создать и анализировать граф "мир тесен" Ватца-Строгаца. Модель Ватца-Строгаца является случайным графиком, который имеет маленько-мировые сетевые свойства, такие как кластеризация и короткая средняя длина пути.
Создание графика Ватт-Strogatz имеет два основных шага:
Создайте кольцевую решетку с узлами средней степени. Каждый узел соединяется со своими самыми близкими соседями с обеих сторон.
Для каждого ребра в графике повторно соедините целевой узел проводом с вероятностью. Пересоединенное проводом ребро не может быть копией или самоциклом.
После первого шага график является совершенной кольцевой решеткой. Таким образом, когда, никакие ребра не повторно соединены проводом, и модель возвращает кольцевую решетку. Напротив, когда, все ребра повторно соединены проводом, и кольцевая решетка преобразовывается в случайный график.
Файл WattsStrogatz.m
реализует этот алгоритм графика для неориентированных графов. Входными параметрами является N
, K
и beta
согласно описанию алгоритма выше.
Просмотрите файл WattsStrogatz.m
.
% Copyright 2015 The MathWorks, Inc. function h = WattsStrogatz(N,K,beta) % H = WattsStrogatz(N,K,beta) returns a Watts-Strogatz model graph with N % nodes, N*K edges, mean node degree 2*K, and rewiring probability beta. % % beta = 0 is a ring lattice, and beta = 1 is a random graph. % Connect each node to its K next and previous neighbors. This constructs % indices for a ring lattice. s = repelem((1:N)',1,K); t = s + repmat(1:K,N,1); t = mod(t-1,N)+1; % Rewire the target node of each edge with probability beta for source=1:N switchEdge = rand(K, 1) < beta; newTargets = rand(N, 1); newTargets(source) = 0; newTargets(s(t==source)) = 0; newTargets(t(source, ~switchEdge)) = 0; [~, ind] = sort(newTargets, 'descend'); t(source, switchEdge) = ind(1:nnz(switchEdge)); end h = graph(s,t); end
Создайте кольцевую решетку с 500 узлами с помощью функции WattsStrogatz
. Когда beta
0, функция возвращает кольцевую решетку, узлы которой у всех есть степень 2K
.
h = WattsStrogatz(500,25,0); plot(h,'NodeColor','k','Layout','circle'); title('Watts-Strogatz Graph with $N = 500$ nodes, $K = 25$, and $\beta = 0$', ... 'Interpreter','latex')
Увеличьте сумму случайности в графике путем повышения beta
до 0.15
и 0.50
.
h2 = WattsStrogatz(500,25,0.15); plot(h2,'NodeColor','k','EdgeAlpha',0.1); title('Watts-Strogatz Graph with $N = 500$ nodes, $K = 25$, and $\beta = 0.15$', ... 'Interpreter','latex')
h3 = WattsStrogatz(500,25,0.50); plot(h3,'NodeColor','k','EdgeAlpha',0.1); title('Watts-Strogatz Graph with $N = 500$ nodes, $K = 25$, and $\beta = 0.50$', ... 'Interpreter','latex')
Сгенерируйте абсолютно случайный график путем увеличения beta
до его максимального значения 1.0
. Это повторно соединяет все проводом ребра.
h4 = WattsStrogatz(500,25,1); plot(h4,'NodeColor','k','EdgeAlpha',0.1); title('Watts-Strogatz Graph with $N = 500$ nodes, $K = 25$, and $\beta = 1$', ... 'Interpreter','latex')
Распределение степени узлов в различных графиках Ватт-Strogatz отличается. Когда beta
0, узлы, у всех есть та же степень, 2K
, таким образом, распределение степени является только функцией дельты Дирака, сосредоточенной на 2K
. Однако, когда beta
увеличивается, изменения распределения степени.
Этот график показывает дистрибутивы степени для ненулевых значений beta
.
histogram(degree(h2),'BinMethod','integers','FaceAlpha',0.9); hold on histogram(degree(h3),'BinMethod','integers','FaceAlpha',0.9); histogram(degree(h4),'BinMethod','integers','FaceAlpha',0.8); hold off title('Node degree distributions for Watts-Strogatz Model Graphs') xlabel('Degree of node') ylabel('Number of nodes') legend('\beta = 1.0','\beta = 0.50','\beta = 0.15','Location','NorthWest')
График Ватт-Strogatz имеет высокий коэффициент кластеризации, таким образом, узлы имеют тенденцию формировать клики или небольшие группы тесно взаимосвязанных узлов. Когда beta
увеличивается к его максимальному значению 1.0
, вы видите все больше большое количество узлов концентратора или узлов высокой относительной степени. Концентраторы являются общей связью между другими узлами и между кликами в графике. Существование концентраторов - то, что разрешает формирование клик при сохранении короткой средней длины пути.
Вычислите среднюю длину пути и количество узлов концентратора для каждого значения beta
. В целях этого примера узлы концентратора являются узлами со степенью, больше, чем или равный 55. Это все узлы, степень которых увеличилась на 10% или больше по сравнению с исходной кольцевой решеткой.
n = 55; d = [mean(mean(distances(h))), nnz(degree(h)>=n); ... mean(mean(distances(h2))), nnz(degree(h2)>=n); ... mean(mean(distances(h3))), nnz(degree(h3)>=n); mean(mean(distances(h4))), nnz(degree(h4)>=n)]; T = table([0 0.15 0.50 1]', d(:,1), d(:,2),... 'VariableNames',{'Beta','AvgPathLength','NumberOfHubs'})
T = 4x3 table Beta AvgPathLength NumberOfHubs ____ _____________ ____________ 0 5.48 0 0.15 2.0715 20 0.5 1.9101 85 1 1.9008 92
Когда beta
увеличивается, средняя длина пути в графике быстро падает на свое предельное значение. Это происходит из-за формирования очень связанных узлов концентратора, которые становятся более многочисленными, когда beta
увеличивается.
Постройте график модели Ватца-Строгаца, делая размер и цвет каждого узла пропорциональными его степени. Это - эффективный способ визуализировать формирование концентраторов.
colormap hsv deg = degree(h2); nSizes = 2*sqrt(deg-min(deg)+0.2); nColors = deg; plot(h2,'MarkerSize',nSizes,'NodeCData',nColors,'EdgeAlpha',0.1) title('Watts-Strogatz Graph with $N = 500$ nodes, $K = 25$, and $\beta = 0.15$', ... 'Interpreter','latex') colorbar