Числа с плавающей запятой

MATLAB® представляет числа с плавающей запятой в формате с двойной точностью или с одинарной точностью. Значением по умолчанию является двойная точность, но можно сделать любую одинарную точность номера с простой функцией преобразования.

Плавающая точка двойной точности

MATLAB создает с двойной точностью (или double) тип данных согласно IEEE® Standard 754 для двойной точности. Любое значение, сохраненное как double, требует 64 битов, отформатированных как показано в приведенной ниже таблице:

Биты

Использование

63

Знак (0 = положительный, 1 = отрицательный)

62 к 52

Экспонента, смещенная 1023

51 к 0

Фракционируйте f номера 1.f

Плавающая точка с одинарной точностью

MATLAB создает с одинарной точностью (или single) тип данных согласно Стандарту IEEE 754 для одинарной точности. Любое значение, сохраненное как single, требует 32 битов, отформатированных как показано в приведенной ниже таблице:

Биты

Использование

31

Знак (0 = положительный, 1 = отрицательный)

30 к 23

Экспонента, смещенная 127

22 к 0

Фракционируйте f номера 1.f

Поскольку MATLAB хранит количества типа single с помощью 32 битов, они требуют меньшей памяти, чем количества типа double, которые используют 64 бита. Однако, потому что они хранятся с меньшим количеством битов, количеств типа, single представлен меньшей точности, чем количества типа double.

Создание данных с плавающей точкой

Используйте с двойной точностью, чтобы сохранить значения, больше, чем приблизительно 3,4 x 1038 или меньше, чем приблизительно-3.4 x 1038. Для чисел, которые находятся между этими двумя пределами, можно использовать или двойную- или одинарную точностью, но одинарная точность требует меньшей памяти.

Создание с двойной точностью данные

Поскольку числовым типом по умолчанию для MATLAB является double, можно создать double с простым оператором присваивания:

x = 25.783;

Функция whos показывает, что MATLAB создал массив 1 на 1 типа double для значения, которое вы только сохранили в x:

whos x
  Name      Size                   Bytes  Class

  x         1x1                        8  double

Используйте isfloat, если вы только хотите проверить, что x является числом с плавающей запятой. Эта функция возвращает логическую единицу (true), если вход является числом с плавающей запятой и логическим нолем (false) в противном случае:

isfloat(x)
ans =

  logical

   1

Можно преобразовать другие числовые данные, символы или строки и логические данные к двойной точности с помощью функции MATLAB, double. Этот пример преобразовывает целое число со знаком в плавающую точку двойной точности:

y = int64(-589324077574);          % Create a 64-bit integer

x = double(y)                      % Convert to double
x =
  -5.8932e+11

Создание данных с одинарной точностью

Поскольку MATLAB хранит числовые данные как double по умолчанию, необходимо использовать функцию преобразования single, чтобы создать номер с одинарной точностью:

x = single(25.783);

Функция whos возвращает атрибуты переменной x в структуре. Поле bytes этой структуры показывает, что, когда x сохранен как сингл, то это требует всего 4 байта по сравнению с 8 байтами для хранения в double:

xAttrib = whos('x');
xAttrib.bytes
ans =
     4

Можно преобразовать другие числовые данные, символы или строки и логические данные к одинарной точности с помощью функции single. Этот пример преобразовывает целое число со знаком в плавающую точку с одинарной точностью:

y = int64(-589324077574);          % Create a 64-bit integer

x = single(y)                      % Convert to single
x =

  single

 -5.8932e+11

Арифметические операции на числах с плавающей запятой

В этом разделе описываются, какие классы можно использовать в арифметических операциях с числами с плавающей запятой.

С двойной точностью операции

Можно выполнить основные арифметические операции с double и любым из следующих других классов. Когда один или несколько операндов являются целым числом (скаляр или массив), операнд double должен быть скаляром. Результат имеет тип double, кроме, где отмечено в противном случае:

  • единственный Результат имеет тип single

  • double

  • int* или uint* — Результат имеет совпадающий тип данных как целочисленный операнд

  • char

  • logical

Этот пример выполняет арифметику на данных типов char и double. Результат имеет тип double:

c = 'uppercase' - 32;

class(c)
ans =
   double

char(c)
ans =
   UPPERCASE

Операции с одинарной точностью

Можно выполнить основные арифметические операции с single и любым из следующих других классов. Результатом всегда является single:

  • single

  • double

  • char

  • logical

В этом примере, 7,5 значений по умолчанию, чтобы ввести double и результат имеет тип single:

x = single([1.32 3.47 5.28]) .* 7.5;

class(x)
ans =
   single

Самые большие и наименьшие значения для классов с плавающей точкой

Для классов double и single существует самое большое и самое маленькое число, которое можно представлять с этим типом.

Самый большой и самый маленький с двойной точностью значения

realmax функций MATLAB и realmin возвращают максимальные и минимальные значения, которые можно представлять с типом данных double:

str = 'The range for double is:\n\t%g to %g and\n\t %g to  %g';
sprintf(str, -realmax, -realmin, realmin, realmax)

ans =
The range for double is:
   -1.79769e+308 to -2.22507e-308 and
    2.22507e-308 to  1.79769e+308

Номерам, больше, чем realmax или меньшим, чем -realmax, присваивают значения положительной и отрицательной бесконечности, соответственно:

realmax + .0001e+308
ans =
   Inf

-realmax - .0001e+308
ans =
  -Inf

Самые большие и наименьшие значения с одинарной точностью

realmax функций MATLAB и realmin, когда названо аргументом 'single', возвращают максимальные и минимальные значения, которые можно представлять с типом данных single:

str = 'The range for single is:\n\t%g to %g and\n\t %g to  %g';
sprintf(str, -realmax('single'), -realmin('single'), ...
    realmin('single'), realmax('single'))

ans =
The range for single is:
	-3.40282e+38 to -1.17549e-38 and
	 1.17549e-38 to  3.40282e+38

Номерам, больше, чем realmax('single') или меньшим, чем -realmax('single'), присваивают значения положительной и отрицательной бесконечности, соответственно:

realmax('single') + .0001e+038
ans =

  single

   Inf

-realmax('single') - .0001e+038
ans =

  single

  -Inf

Точность данных с плавающей точкой

Если результат арифметического вычисления с плавающей точкой не так точен, как вы ожидали, он, вероятно, вызывается ограничениями оборудования вашего компьютера. Вероятно, ваш результат был немного менее точным, потому что оборудование имело недостаточные биты, чтобы представлять результат с совершенной точностью; поэтому, это усеченный получившееся значение.

С двойной точностью точность

Поскольку существует только конечное число чисел с двойной точностью, вы не можете представлять все числа в устройстве хранения данных с двойной точностью. На любом компьютере существует маленький разрыв между каждым номером с двойной точностью и следующим большим номером с двойной точностью. Можно определить размер этого разрыва, который ограничивает точность результатов, с помощью функции eps. Например, чтобы найти расстояние между 5 и следующим большим номером с двойной точностью, войти

format long

eps(5)
ans =
     8.881784197001252e-16

Это говорит вам, что нет никаких чисел с двойной точностью между 5 и   5 + eps(5). Если вычисление с двойной точностью дает ответ 5, результат только с точностью до в eps(5).

Значение eps(x) зависит от x. Этот пример показывает, что, когда x становится больше, делает eps(x):

eps(50)
ans =
     7.105427357601002e-15

Если вы вводите eps без входного параметра, MATLAB возвращает значение eps(1), расстояния от 1 до следующего большего номера с двойной точностью.

Точность с одинарной точностью

Точно так же между любыми двумя числами с одинарной точностью существуют разрывы. Если x имеет, вводят single, eps(x) возвращает расстояние между x и следующим большим номером с одинарной точностью. Например,

x = single(5);
eps(x)

возвращается

ans =

  single

  4.7684e-07

Обратите внимание на то, что этот результат больше, чем eps(5). Поскольку существует меньше чисел с одинарной точностью, чем числа с двойной точностью, разрывы между числами с одинарной точностью больше, чем разрывы между числами с двойной точностью. Это означает, что результаты в арифметике с одинарной точностью менее точны, чем в арифметике с двойной точностью.

Для номера x типа double eps(single(x)) дает вам верхнюю границу для суммы, что x округлен, когда вы преобразовываете его от double до single. Например, когда вы преобразовываете номер с двойной точностью 3.14 в single, это округлено

double(single(3.14) - 3.14)
ans =
   1.0490e-07

Сумма, что 3.14 округлен, является меньше, чем

eps(single(3.14))
ans =

  single

  2.3842e-07

Предотвращение типичных проблем операций с плавающей точкой

Почти все операции в MATLAB выполняются в арифметике с двойной точностью, соответствующей стандарту IEEE 754. Поскольку компьютеры только представляют числа конечной точности (двойная точность призывает к 52 битам мантиссы), вычисления иногда приводят к математически неинтуитивным результатам. Важно отметить, что этими результатами не являются ошибки в MATLAB.

Используйте следующие примеры, чтобы помочь вам идентифицировать эти случаи:

Пример 1 - округление или что вы получаете, не то, что вы ожидаете

Десятичное число 4/3 не является точно представимым как двоичная дробь. Поэтому следующее вычисление не дает нуль, а скорее показывает количество eps.

e = 1 - 3*(4/3 - 1)

e =
   2.2204e-16

Точно так же 0.1 не является точно представимым как двоичное число. Таким образом вы получаете следующее неинтуитивное поведение:

a = 0.0;
for i = 1:10
  a = a + 0.1;
end
a == 1
ans =

  logical

   0

Обратите внимание на то, что порядок операций может иметь значение в вычислении:

b = 1e-16 + 1 - 1e-16;
c = 1e-16 - 1e-16 + 1;
b == c
ans =

  logical

   0

Между числами с плавающей запятой существуют разрывы. В то время как числа становятся больше, также - разрывы, как свидетельствуется:

(2^53 + 1) - 2^53

ans =
     0

Поскольку pi не действительно π, не удивительно, что sin(pi) не является точно нулевым:

sin(pi)

ans =
     1.224646799147353e-16

Пример 2 - катастрофическая отмена

Когда вычитания выполняются почти с равными операндами, иногда отмена может неожиданно произойти. Следующее является примером отмены, вызванной путем затопления (потеря точности, которая делает сложение незначительным).

sqrt(1e-16 + 1) - 1

ans =
     0

Некоторые функции в MATLAB, такие как expm1 и log1p, могут использоваться, чтобы компенсировать эффекты катастрофической отмены.

Пример 3 - операции с плавающей точкой и линейная алгебра

Округление, отмена и другие черты арифметического объединения с плавающей точкой, чтобы произвести потрясающие вычисления при решении проблем линейной алгебры. MATLAB предупреждает, что следующий матричный A плохо обусловлен, и поэтому система, Ax = b может быть чувствителен к небольшим возмущениям:

A = diag([2 eps]); 
b = [2; eps]; 
y = A\b; 
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
         Results may be inaccurate. RCOND = 1.110223e-16.

Это только несколько примеров, показывающих, как IEEE арифметика с плавающей точкой влияет на вычисления в MATLAB. Обратите внимание на то, что все вычисления, выполняемые в арифметике IEEE 754, затронуты, это включает приложения, написанные в C или ФОРТРАНЕ, а также MATLAB.

Ссылки

[1] Moler, Клив. “Плавающие точки”. Новости MATLAB и примечания. Упадите, 1996.

[2] Moler, Клив. Числовое вычисление с MATLAB. Натик, MA: MathWorks, Inc., 2004.

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте