Этот пример демонстрирует использование доверительного резкого искривления области по умолчанию алгоритм fsolve (см. Крупномасштабный по сравнению с Алгоритмами Средней шкалы). Это предназначается для проблем где
Система нелинейных уравнений является квадратной, т.е. количество уравнений равняется количеству неизвестных.
Там существует решение x, таким образом что F (x) = 0.
Пример использует fsolve, чтобы получить минимум банана (или Розенброк) функция путем получения и затем решения эквивалентной системы нелинейных уравнений. Функция Розенброка, которая имеет минимум F (x) = 0, является общей тестовой задачей в оптимизации. Это имеет высокую степень нелинейности и сходится чрезвычайно медленно, при попытке использовать методы типа быстрейшего спуска. Этим дают
Сначала обобщите эту функцию к n - размерная функция, для любого положительного, даже значение n:
Эта функция упоминается как обобщенная Функция Розенброка. Это состоит из условий n в квадрате, включающих неизвестные n.
Прежде чем можно будет использовать fsolve, чтобы найти значения x таким образом, что F (x) = 0, т.е. получают минимум обобщенной Функции Розенброка, необходимо переписать функцию как следующую эквивалентную систему нелинейных уравнений:
Эта система является квадратной, и можно использовать fsolve, чтобы решить ее. Как пример демонстрирует, этой системе дал уникальное решение xi = 1, i = 1..., n.
function [F,J] = bananaobj(x)
% Evaluate the vector function and the Jacobian matrix for
% the system of nonlinear equations derived from the general
% n-dimensional Rosenbrock function.
% Get the problem size
n = length(x);
if n == 0, error('Input vector, x, is empty.'); end
if mod(n,2) ~= 0,
error('Input vector, x ,must have an even number of components.');
end
% Evaluate the vector function
odds = 1:2:n;
evens = 2:2:n;
F = zeros(n,1);
F(odds,1) = 1-x(odds);
F(evens,1) = 10.*(x(evens)-x(odds).^2);
% Evaluate the Jacobian matrix if nargout > 1
if nargout > 1
c = -ones(n/2,1); C = sparse(odds,odds,c,n,n);
d = 10*ones(n/2,1); D = sparse(evens,evens,d,n,n);
e = -20.*x(odds); E = sparse(evens,odds,e,n,n);
J = C + D + E;
endn = 64; x0(1:n,1) = -1.9; x0(2:2:n,1) = 2; options = optimoptions(@fsolve,'Display','iter','SpecifyObjectiveGradient',true); [x,F,exitflag,output,JAC] = fsolve(@bananaobj,x0,options);
Используйте отправную точку x (i) = –1.9 для нечетных индексов и x (i) = 2 для ровных индексов. Установите Display на 'iter' видеть прогресс решателя. Установите SpecifyObjectiveGradient на true использовать якобиан, заданный в bananaobj.m. Функция fsolve генерирует следующий вывод:
Norm of First-order Trust-region
Iteration Func-count f(x) step optimality radius
0 1 8563.84 615 1
1 2 3093.71 1 329 1
2 3 225.104 2.5 34.8 2.5
3 4 212.48 6.25 34.1 6.25
4 5 212.48 6.25 34.1 6.25
5 6 102.771 1.5625 6.39 1.56
6 7 102.771 3.90625 6.39 3.91
7 8 87.7443 0.976563 2.19 0.977
8 9 74.1426 2.44141 6.27 2.44
9 10 74.1426 2.44141 6.27 2.44
10 11 52.497 0.610352 1.52 0.61
11 12 41.3297 1.52588 4.63 1.53
12 13 34.5115 1.52588 6.97 1.53
13 14 16.9716 1.52588 4.69 1.53
14 15 8.16797 1.52588 3.77 1.53
15 16 3.55178 1.52588 3.56 1.53
16 17 1.38476 1.52588 3.31 1.53
17 18 0.219553 1.16206 1.66 1.53
18 19 0 0.0468565 0 1.53
Equation solved.
fsolve completed because the vector of function values is near zero
as measured by the value of the function tolerance, and
the problem appears regular as measured by the gradient.