Этот пример показывает, как использовать бинарное целочисленное программирование, чтобы решить классическую проблему коммивояжера. Эта проблема включает нахождение самого короткого закрытого тура (путь) через набор остановок (города). В этом случае существует 200 остановок, но можно легко заменить переменную nStops, чтобы получить различный проблемный размер. Вы будете решать начальную проблему и видеть, что решение имеет подтуры. Это означает, что найденное оптимальное решение не дает один непрерывный путь через все точки, но вместо этого имеет несколько разъединенных циклов. Вы будете затем использовать итеративный процесс определения подтуров, добавления ограничений и повторного выполнения оптимизации, пока подтуры не будут устранены.
Для основанного на решателе подхода к этой проблеме смотрите проблему Коммивояжера: основанный на решателе.
Сгенерируйте случайные остановки в грубом многоугольном представлении континентальных США.
figure; load('usborder.mat','x','y','xx','yy'); rng(3,'twister') % makes a plot with stops in Maine & Florida, and is reproducible nStops = 200; % you can use any number, but the problem size scales as N^2 stopsLon = zeros(nStops,1); % allocate x-coordinates of nStops stopsLat = stopsLon; % allocate y-coordinates n = 1; while (n <= nStops) xp = rand*1.5; yp = rand; if inpolygon(xp,yp,x,y) % test if inside the border stopsLon(n) = xp; stopsLat(n) = yp; n = n+1; end end plot(x,y,'Color','red'); % draw the outside border hold on % Add the stops to the map plot(stopsLon,stopsLat,'*b') hold off
Сформулируйте проблему коммивояжера для целочисленного линейного программирования можно следующим образом:
Сгенерируйте все возможные прохождения, имея в виду все отличные пары остановок.
Вычислите расстояние для каждого прохождения.
Функция стоимости, чтобы минимизировать является суммой расстояний прохождения для каждого прохождения на туре.
Переменные решения являются двоичным файлом, и сопоставленный с каждым прохождением, где каждый 1 представляет прохождение, которое существует в туре, и каждый 0 представляет прохождение, которое не находится в туре.
Чтобы гарантировать, что тур включает каждую остановку, включайте линейное ограничение, что каждая остановка включена точно два прохождения. Это означает одно прибытие и одно отклонение от остановки.
Поскольку существует 200 остановок, существует 19 900 прохождений, означая 19 900 бинарных переменных (# переменные = 200 выбирают 2).
Сгенерируйте все прохождения, имея в виду все пары остановок.
idxs = nchoosek(1:nStops,2);
Вычислите все расстояния прохождения, приняв, что земля является плоской в порядке использовать Пифагорейское правило.
dist = hypot(stopsLat(idxs(:,1)) - stopsLat(idxs(:,2)), ...
stopsLon(idxs(:,1)) - stopsLon(idxs(:,2)));
lendist = length(dist);С этим определением вектора dist продолжительность тура
dist'*trips
где trips является бинарным вектором, представляющим путешествия, которые предпринимает решение. Это - расстояние тура, который вы пытаетесь минимизировать.
Создайте проблему и бинарные переменные.
tsp = optimproblem; trips = optimvar('trips',lendist,1,'Type','integer','LowerBound',0,'UpperBound',1);
Включайте целевую функцию в проблему.
tsp.Objective = dist'*trips;
Проблема имеет два типа ограничений равенства. Первое осуществляет это должно быть 200 общих количеств прохождений. Второе осуществляет ту каждую остановку, должен иметь два прохождения, присоединенные к нему (должно быть прохождение в каждую остановку и прохождение, отбыв из каждой остановки).
Задайте первый тип ограничения равенства, что у вас должны быть прохождения nStops, и включать его в проблему.
constrips = sum(trips) == nStops; tsp.Constraints.constrips = constrips;
Чтобы задать второй тип ограничения равенства, что должно быть два прохождения, присоединенные к каждой остановке, находят прохождения для каждой остановки и складывают количество прохождений для той остановки. Посмотрите на прохождения, что и запустите и закончитесь на той остановке.
constr2trips = optimconstr(nStops,1); for stops = 1:nStops whichIdxs = (idxs == stops); whichIdxs = any(whichIdxs,2); % start or end at stops constr2trips(stops) = sum(trips(whichIdxs)) == 2; end tsp.Constraints.constr2trips = constr2trips;
Проблема готова быть решенной. Чтобы подавить итеративный вывод, выключите отображение по умолчанию.
opts = optimoptions('intlinprog','Display','off'); tspsol = solve(tsp,'options',opts)
tspsol = struct with fields:
trips: [19900×1 double]
hold on segments = find(tspsol.trips); % Get indices of lines on optimal path lh = zeros(nStops,1); % Use to store handles to lines on plot lh = updateSalesmanPlot(lh,tspsol.trips,idxs,stopsLon,stopsLat); title('Solution with Subtours');
Как видно на карте, решение имеет несколько подтуров. Ограничения, заданные до сих пор, не предотвращают эти подтуры. В порядке предотвратить любой возможный подтур, вам было бы нужно невероятно большое количество ограничений неравенства.
Поскольку вы не можете добавить все подтуристические ограничения, проявите итерационный подход. Обнаружьте подтуры в текущем решении, затем добавьте ограничения неравенства, чтобы предотвратить те конкретные подтуры. Путем выполнения этого вы находите подходящий тур в нескольких итерациях.
Устраните подтуры по-разному ограничения. Пример того, как это работы - то, если у вас есть пять точек на подтуре, затем у вас есть пять строк, соединяющих те точки, чтобы создать подтур. Устраните этот подтур путем реализации ограничения неравенства, чтобы сказать, что там должно быть меньше чем или равно четырем строкам между этими пятью точками.
Еще больше найдите все строки между этими пятью точками и ограничьте решение не иметь больше чем четыре из этих существующих строк. Это - правильное ограничение потому что, если бы пять или больше из строк существовали в решении, то решение имело бы подтур (график с узлы и ребра всегда содержат цикл).
Функция detectSubtours анализирует решение и возвращает массив ячеек векторов. Каждый вектор в массиве ячеек содержит остановки, вовлеченные в тот конкретный подтур.
tours = detectSubtours(tspsol.trips,idxs); numtours = length(tours); % number of subtours fprintf('# of subtours: %d\n',numtours);
# of subtours: 27
Включайте линейные ограничения неравенства, чтобы устранить подтуры, и неоднократно вызывать решатель, пока всего один подтур не остается.
% Index of added constraints for subtours k = 1; while numtours > 1 % repeat until there is just one subtour % Add the subtour constraints for ii = 1:numtours subTourIdx = tours{ii}; % Extract the current subtour % The next lines find all of the variables associated with the % particular subtour, then add an inequality constraint to prohibit % that subtour and all subtours that use those stops. variations = nchoosek(1:length(subTourIdx),2); a = false(length(idxs),1); for jj = 1:length(variations) whichVar = (sum(idxs==subTourIdx(variations(jj,1)),2)) & ... (sum(idxs==subTourIdx(variations(jj,2)),2)); a = a | whichVar; end tsp.Constraints.(sprintf('subtourconstr%i',k)) = sum(trips(a)) <= length(subTourIdx)-1; k = k + 1; end % Try to optimize again [tspsol,fval,exitflag,output] = solve(tsp,'options',opts); % Visualize result lh = updateSalesmanPlot(lh,tspsol.trips,idxs,stopsLon,stopsLat); % How many subtours this time? tours = detectSubtours(tspsol.trips,idxs); numtours = length(tours); % number of subtours fprintf('# of subtours: %d\n',numtours); end
# of subtours: 20
# of subtours: 7
# of subtours: 9
# of subtours: 9
# of subtours: 3
# of subtours: 2
# of subtours: 7
# of subtours: 2
# of subtours: 1
title('Solution with Subtours Eliminated'); hold off
Решение представляет выполнимый тур, потому что это - один замкнутый цикл. Но действительно ли это - тур минимальной стоимости? Один способ узнать состоит в том, чтобы исследовать выходную структуру.
disp(output.absolutegap)
0
Малость абсолютного разрыва подразумевает, что решение или оптимально или имеет общую длину, которая является близко к оптимальному.