Устойчивое управление активной приостановки

Этот пример показывает, как использовать Robust Control Toolbox™, чтобы разработать устойчивый контроллер для активной системы подвески.

Модель приостановки четверти автомобиля

Обычные пассивные приостановки используют пружину и демпфер между блоком кузова автомобиля и колеса. Характеристики пружинного демпфера выбраны, чтобы подчеркнуть одну из нескольких конфликтных целей, таких как пассажирский комфорт, дорожная обработка и отклонение приостановки. Активные приостановки позволяют разработчику балансировать эти цели с помощью контроллера обратной связи гидравлический привод между блоком шасси и колеса.

Этот пример использует модель четверти автомобиля активной системы подвески (см. рисунок 1). Масса $m_{b}$ (в килограммах), представляет автомобильное шасси (тело) и масса $m_{w}$ (в килограммах), представляет блок колеса. Пружина $k_{s}$ и демпфер $b_{s}$ представляйте пассивную пружину и амортизатор, помещенный между кузовом автомобиля и блоком колеса. Пружина $k_{t}$ моделирует сжимаемость пневматической шины. Переменные $x_{b}$ , $x_{w}$ , и $r$ (все в метрах), перемещение тела, перемещение колеса и дорожное воздействие, соответственно. Сила $f_{s}$ (в килоньютонах), примененный между телом и блоком колеса управляется обратной связью и представляет активный компонент системы подвески.

Рисунок 1: модель четверти автомобиля активной приостановки.

С обозначением $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) : = (x_{b}, {x_{b}}_{}^{˙}, x_{w}, {x_{}^{˙}}_{w})$ , линеаризовавшие уравнения пространства состояний для модели четверти автомобиля:

$\begin{array}{ccl} {x_{1}}_{}^{˙} & = & x_{2} \\ {x_{2}}_{}^{˙} & = & - (1 / m_{b}) [k_{s} (x_{1} - x_{3}) + b_{s} (x_{2} - x_{4}) - 1 0^{3} f_{s}] \\ {x_{3}}_{}^{˙} & = & x_{4} \\ {x_{4}}_{}^{˙} & = & (1 / m_{w}) [k_{s} (x_{1} - x_{3}) + b_{s} (x_{2} - x_{4}) - k_{t} (x_{3} - r) - 1 0^{3} f_{s}] . \end{array}$

Создайте модель в пространстве состояний qcar, представляющий эти уравнения.

% Physical parameters
mb = 300;    % kg
mw = 60;     % kg
bs = 1000;   % N/m/s
ks = 16000 ; % N/m
kt = 190000; % N/m

% State matrices
A = [ 0 1 0 0; [-ks -bs ks bs]/mb ; ...
      0 0 0 1; [ks bs -ks-kt -bs]/mw];
B = [ 0 0; 0 1e3/mb ; 0 0 ; [kt -1e3]/mw];
C = [1 0 0 0; 1 0 -1 0; A(2,:)];
D = [0 0; 0 0; B(2,:)];

qcar = ss(A,B,C,D);
qcar.StateName = {'body travel (m)';'body vel (m/s)';...
          'wheel travel (m)';'wheel vel (m/s)'};
qcar.InputName = {'r';'fs'};
qcar.OutputName = {'xb';'sd';'ab'};

Передаточная функция от привода до перемещения тела и ускорения имеет нуль мнимой оси с собственной частотой 56,27 рад/с. Это называется частотой транзитного участка шины.

tzero(qcar({'xb','ab'},'fs'))

ans = 2×1 complex

  -0.0000 +56.2731i
  -0.0000 -56.2731i

Точно так же передаточная функция от привода до отклонения приостановки имеет нуль мнимой оси с собственной частотой 22,97 рад/с. Это называется rattlespace частотой.

zero(qcar('sd','fs'))

ans = 2×1 complex

   0.0000 +22.9734i
   0.0000 -22.9734i

Дорожные воздействия влияют на движение автомобиля и приостановки. Пассажирский комфорт сопоставлен с небольшим ускорением тела. Допустимое перемещение приостановки ограничивается пределами на смещении привода. Постройте коэффициент усиления разомкнутого контура от дорожного воздействия и силы привода, чтобы придать форму смещение приостановки и ускорение.

bodemag(qcar({'ab','sd'},'r'),'b',qcar({'ab','sd'},'fs'),'r',{1 100});
legend('Road disturbance (r)','Actuator force (fs)','location','SouthWest')
title(['Gain from road dist (r) and actuator force (fs) '...
       'to body accel (ab) and suspension travel (sd)'])

Из-за нулей мнимой оси управление с обратной связью не может улучшить ответ от дорожного воздействия $r$ к ускорению тела $a_{b}$ на частоте транзитного участка шины, и от $r$ к отклонению приостановки $s_{d}$ на rattlespace частоте. Кроме того, из-за отношения $x_{w} = x_{b} - s_{d}$ и то, что положение колеса $x_{w}$ примерно следует $r$ в низкой частоте (меньше чем 5 рад/с) существует свойственный компромисс между пассажирским комфортом и отклонением приостановки: любое сокращение перемещения тела в низкой частоте приведет к увеличению отклонения приостановки.

Неопределенная модель привода

Гидравлический привод, используемый для активного управления приостановкой, соединяется между массой тела $m_{b}$ и масса блока колеса $m_{w}$ . Номинальные движущие силы привода представлены передаточной функцией первого порядка $1 / (1 + s / 60)$ смещение имеющее 0,05 м.

ActNom = tf(1,[1/60 1]);

Эта номинальная модель только аппроксимирует физическую динамику привода. Мы можем использовать семейство моделей привода, чтобы составлять моделирование ошибок и изменчивости в моделях четвертей автомобиля и приводе. Это семейство состоит из номинальной модели с зависимой частотой суммой неуверенности. В низкой частоте, ниже 3 рад/с, модель может отличаться до 40% от своей номинальной стоимости. Приблизительно 3 рад/с, изменение процента начинает увеличиваться. Неуверенность пересекает 100% на уровне 15 рад/с и достигает 2 000% на уровне приблизительно 1 000 рад/с. Функция взвешивания $W_{u n c}$ используется, чтобы модулировать сумму неуверенности с частотой.

Wunc = makeweight(0.40,15,3);
unc = ultidyn('unc',[1 1],'SampleStateDim',5);
Act = ActNom*(1 + Wunc*unc);
Act.InputName = 'u';
Act.OutputName = 'fs';

Результатом Act является неопределенная модель в пространстве состояний привода. Постройте Предвещать ответ 20 демонстрационных значений Act и сравните с номинальной стоимостью.

rng('default')
bode(Act,'b',Act.NominalValue,'r+',logspace(-1,3,120))

Разработайте Setup

Основные цели управления формулируются с точки зрения пассажирского комфорта и дорожной обработки, которые относятся к ускорению тела $a_{b}$ и перемещение приостановки $s_{d}$ . Другие факторы, которые влияют на систему управления, включают характеристики дорожного воздействия, качество измерений датчика для обратной связи и пределы на силе доступного элемента управления. Использовать $H_{\infty}$ алгоритмы синтеза, мы должны выразить эти цели как одну функцию стоимости, которая будет минимизирована. Это может быть сделано как обозначенный рисунок 2.

Рисунок 2: формулировка Подавления помех.

Диспетчер обратной связи использует измерения $y_{1}, y_{2}$ из перемещения приостановки $s_{d}$ и ускорение тела $a_{b}$ вычислить управляющий сигнал $u$ управление гидравлическим приводом. Существует три внешних источника воздействия:

Дорожное воздействие $r$ , смоделированный как нормированный сигнал $d_{1}$ сформированный функцией взвешивания $W_{r o a d}$ . К образцовым широкополосным дорожным отклонениям значения семь сантиметров мы используем постоянный вес $W_{r o a d} = 0 . 07$
Шум датчика на обоих измерениях, смоделированных как нормированные сигналы $d_{2}$ и $d_{3}$ сформированный функциями взвешивания $W_{d_{2}}$ и $W_{d_{3}}$ . Мы используем $W_{d_{2}} = 0 . 01$ и $W_{d_{3}} = 0.5$ к образцовому широкополосному шуму датчика интенсивности 0.01 и 0.5, соответственно. В более реалистическом проекте эти веса были бы зависимым частоты, чтобы смоделировать шумовой спектр ускоряющих датчиков и смещения.

Целям управления можно дать иное толкование как цель подавления помех: Минимизируйте влияние воздействий $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ на взвешенной комбинации усилия по управлению $u$ , перемещение приостановки $s_{d}$ , и ускорение тела $a_{b}$ . При использовании $H_{\infty}$ норма (пиковое усиление), чтобы измерить "влияние", это составляет разработку контроллера, который минимизирует $H_{\infty}$ норма от входных параметров воздействия $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ к сигналам ошибки $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ .

Создайте функции взвешивания рисунка 2 и маркируйте их каналы ввода-вывода, чтобы упростить соединение. Используйте фильтр высоких частот для $W_{a c t}$ оштрафовать высокочастотное содержимое управляющего сигнала и таким образом ограничить пропускную способность управления.

Wroad = ss(0.07);  Wroad.u = 'd1';   Wroad.y = 'r';
Wact = 0.8*tf([1 50],[1 500]);  Wact.u = 'u';  Wact.y = 'e1';
Wd2 = ss(0.01);  Wd2.u = 'd2';   Wd2.y = 'Wd2';
Wd3 = ss(0.5);   Wd3.u = 'd3';   Wd3.y = 'Wd3';

Задайте цели с обратной связью для усиления от дорожного воздействия $r$ к отклонению приостановки $s_{d}$ (обработка) и ускорение тела $a_{b}$ (комфорт). Из-за неуверенности привода и нулей мнимой оси, только стремитесь ослабить воздействия ниже 10 рад/с.

HandlingTarget = 0.04 * tf([1/8 1],[1/80 1]);
ComfortTarget = 0.4 * tf([1/0.45 1],[1/150 1]);

Targets = [HandlingTarget ; ComfortTarget];
bodemag(qcar({'sd','ab'},'r')*Wroad,'b',Targets,'r--',{1,1000}), grid
title('Response to road disturbance')
legend('Open-loop','Closed-loop target')

Соответствующие веса производительности $W_{s d}, W_{a b}$ обратные величины их, успокаивают и обрабатывающие цели. Чтобы исследовать компромисс между пассажирским комфортом и дорожной обработкой, создайте три набора весов $(β W_{s d}, (1 - β) W_{a b})$ соответствие трем различным компромиссам: комфорт ( $β = 0 . 01$ ), сбалансированный ( $β = 0.5$ ), и обработка ( $β = 0 . 99$ ).

% Three design points
beta = reshape([0.01 0.5 0.99],[1 1 3]);
Wsd = beta / HandlingTarget;
Wsd.u = 'sd';  Wsd.y = 'e3';
Wab = (1-beta) / ComfortTarget;
Wab.u = 'ab';  Wab.y = 'e2';

Наконец, используйте connect, чтобы создать модель qcaric блок-схемы рисунка 2. Обратите внимание на то, что qcaric является массивом трех моделей, один для каждой точки проекта $β$ . Кроме того, qcaric является неопределенной моделью, поскольку он содержит неопределенную модель Act привода.

sdmeas  = sumblk('y1 = sd+Wd2');
abmeas = sumblk('y2 = ab+Wd3');
ICinputs = {'d1';'d2';'d3';'u'};
ICoutputs = {'e1';'e2';'e3';'y1';'y2'};
qcaric = connect(qcar(2:3,:),Act,Wroad,Wact,Wab,Wsd,Wd2,Wd3,...
                 sdmeas,abmeas,ICinputs,ICoutputs)

qcaric =

  3x1 array of uncertain continuous-time state-space models.
  Each model has 5 outputs, 4 inputs, 9 states, and the following uncertain blocks:
    unc: Uncertain 1x1 LTI, peak gain = 1, 1 occurrences

Type "qcaric.NominalValue" to see the nominal value, "get(qcaric)" to see all properties, and "qcaric.Uncertainty" to interact with the uncertain elements.

Номинальный проект H-бесконечности

Используйте hinfsyn, чтобы вычислить $H_{\infty}$ контроллер для каждого значения смешивающегося фактора $β$ .

ncont = 1; % one control signal, u
nmeas = 2; % two measurement signals, sd and ab
K = ss(zeros(ncont,nmeas,3));
gamma = zeros(3,1);
for i=1:3
   [K(:,:,i),~,gamma(i)] = hinfsyn(qcaric(:,:,i),nmeas,ncont);
end

gamma

gamma = 3×1

    0.9405
    0.6727
    0.8892

Эти три контроллера достигают с обратной связью $H_{\infty}$ нормы 0,94, 0.67 и 0.89, соответственно. Создайте соответствующие модели с обратной связью и сравните усиления от дорожного воздействия до $x_{b}, s_{d}, a_{b}$ для пассивных и активных приостановок. Заметьте, что все три контроллера уменьшают отклонение приостановки и ускорение тела ниже rattlespace частоты (23 рад/с).

% Closed-loop models
K.u = {'sd','ab'};  K.y = 'u';
CL = connect(qcar,Act.Nominal,K,'r',{'xb';'sd';'ab'});

bodemag(qcar(:,'r'),'b', CL(:,:,1),'r-.', ...
   CL(:,:,2),'m-.', CL(:,:,3),'k-.',{1,140}), grid
legend('Open-loop','Comfort','Balanced','Handling','location','SouthEast')
title('Body travel, suspension deflection, and body acceleration due to road')

Оценка временного интервала

Чтобы далее оценить три проекта, выполните симуляции временного интервала с помощью дорожного сигнала воздействия $r (t)$ представление дорожного удара высоты 5 см.

% Road disturbance
t = 0:0.0025:1;
roaddist = zeros(size(t));
roaddist(1:101) = 0.025*(1-cos(8*pi*t(1:101)));

% Closed-loop model
SIMK = connect(qcar,Act.Nominal,K,'r',{'xb';'sd';'ab';'fs'});

% Simulate
p1 = lsim(qcar(:,1),roaddist,t);
y1 = lsim(SIMK(1:4,1,1),roaddist,t);
y2 = lsim(SIMK(1:4,1,2),roaddist,t);
y3 = lsim(SIMK(1:4,1,3),roaddist,t);

% Plot results
subplot(211)
plot(t,p1(:,1),'b',t,y1(:,1),'r.',t,y2(:,1),'m.',t,y3(:,1),'k.',t,roaddist,'g')
title('Body travel'), ylabel('x_b (m)')
subplot(212)
plot(t,p1(:,3),'b',t,y1(:,3),'r.',t,y2(:,3),'m.',t,y3(:,3),'k.',t,roaddist,'g')
title('Body acceleration'), ylabel('a_b (m/s^2)')

subplot(211)
plot(t,p1(:,2),'b',t,y1(:,2),'r.',t,y2(:,2),'m.',t,y3(:,2),'k.',t,roaddist,'g')
title('Suspension deflection'), xlabel('Time (s)'), ylabel('s_d (m)')
subplot(212)
plot(t,zeros(size(t)),'b',t,y1(:,4),'r.',t,y2(:,4),'m.',t,y3(:,4),'k.',t,roaddist,'g')
title('Control force'), xlabel('Time (s)'), ylabel('f_s (kN)')
legend('Open-loop','Comfort','Balanced','Handling','Road Disturbance','location','SouthEast')

Заметьте, что ускорение тела является самым маленьким для контроллера, подчеркивающего пассажирский комфорт и самое большое для контроллера, подчеркивающего отклонение приостановки. "Сбалансированный" проект достигает хорошего компромисса между ускорением тела и отклонением приостановки.

Устойчивый проект Му

До сих пор вы разработали $H_{\infty}$ контроллеры, которые достигают целей производительности для номинальной модели привода. Как обсуждено ранее, эта модель является только приближением истинного привода, и необходимо убедиться, что производительность контроллера сохраняется перед лицом образцовых ошибок и неуверенности. Это называется устойчивой производительностью.

Затем используйте $μ$ - синтез, чтобы разработать контроллер, который достигает устойчивой производительности для целого семейства моделей привода. Устойчивый контроллер синтезируется с функцией dksyn использование неопределенной модели qcaric(:,:,2), соответствующей "сбалансированной" производительности ( $β = 0.5$ ).

[Krob,~,rpMU] = dksyn(qcaric(:,:,2),nmeas,ncont);

rpMU

rpMU = 0.9081

Моделируйте номинальный ответ на дорожный удар с устойчивым контроллером Krob. Ответы подобны полученным со "сбалансированным" $H_{\infty}$ контроллер.

% Closed-loop model (nominal)
Krob.u = {'sd','ab'};
Krob.y = 'u';
SIMKrob = connect(qcar,Act.Nominal,Krob,'r',{'xb';'sd';'ab';'fs'});

% Simulate
p1 = lsim(qcar(:,1),roaddist,t);
y1 = lsim(SIMKrob(1:4,1),roaddist,t);

% Plot results
clf, subplot(221)
plot(t,p1(:,1),'b',t,y1(:,1),'r',t,roaddist,'g')
title('Body travel'), ylabel('x_b (m)')
subplot(222)
plot(t,p1(:,3),'b',t,y1(:,3),'r')
title('Body acceleration'), ylabel('a_b (m/s^2)')
subplot(223)
plot(t,p1(:,2),'b',t,y1(:,2),'r')
title('Suspension deflection'), xlabel('Time (s)'), ylabel('s_d (m)')
subplot(224)
plot(t,zeros(size(t)),'b',t,y1(:,4),'r')
title('Control force'), xlabel('Time (s)'), ylabel('f_s (kN)')
legend('Open-loop','Robust design','location','SouthEast')

Затем моделируйте ответ на дорожный удар для 100 моделей привода, случайным образом выбранных из неопределенного набора модели Act.

rng('default'), nsamp = 100;  clf

% Uncertain closed-loop model with balanced H-infinity controller
CLU = connect(qcar,Act,K(:,:,2),'r',{'xb','sd','ab'});
lsim(usample(CLU,nsamp),'b',CLU.Nominal,'r',roaddist,t)
title('Nominal "balanced" design')
legend('Perturbed','Nominal','location','SouthEast')

% Uncertain closed-loop model with balanced robust controller
CLU = connect(qcar,Act,Krob,'r',{'xb','sd','ab'});
lsim(usample(CLU,nsamp),'b',CLU.Nominal,'r',roaddist,t)
title('Robust "balanced" design')
legend('Perturbed','Nominal','location','SouthEast')

Устойчивый контроллер Krob уменьшает изменчивость из-за неуверенности модели и поставляет более сопоставимую производительность.

Упрощение контроллера

У устойчивого контроллера Krob есть одиннадцать состояний. Часто имеет место, что у контроллеров, синтезируемых с dksyn, есть старший разряд. Можно использовать функции снижения сложности модели, чтобы найти контроллер более низкоуровневый, который достигает того же уровня устойчивой производительности. Используйте reduce, чтобы сгенерировать приближения различных порядков.

% Create array of reduced-order controllers
NS = order(Krob);
StateOrders = 1:NS;
Kred = reduce(Krob,StateOrders);

Затем используйте robgain, чтобы вычислить устойчивое поле производительности для каждого приближения уменьшаемого порядка. Целям производительности удовлетворяют, когда усиление с обратной связью является меньше, чем $γ = 1$ . Устойчивое поле производительности измеряется, сколько неуверенности может быть поддержано без ухудшающейся производительности (превышение $γ = 1$ ). Поле 1 или больше указывает, что мы можем выдержать 100% заданной неуверенности.

% Compute robust performance margin for each reduced controller
gamma = 1;
CLP = lft(qcaric(:,:,2),Kred);
for k=1:NS
   PM(k) = robgain(CLP(:,:,k),gamma);
end

% Compare robust performance of reduced- and full-order controllers
PMfull = PM(end).LowerBound;
plot(StateOrders,[PM.LowerBound],'b-o',...
   StateOrders,repmat(PMfull,[1 NS]),'r');
title('Robust performance margin as a function of controller order')
legend('Reduced order','Full order','location','SouthEast')

Устойчивое поле производительности значительно ниже 1 для контроллеров порядка 7 и ниже. Однако нет никакой значительной разницы в поле производительности между 8-ми контроллерами и контроллерами 11-го порядка, таким образом, можно безопасно заменить Krob его приближением 8-го порядка.

Krob8 = Kred(:,:,8);

Документация