Дискретное косинусное преобразование

Дискретное косинусное преобразование (DCT) тесно связано с дискретным преобразованием Фурье (DFT). ДПФ является на самом деле одним шагом в вычислении DCT для последовательности. DCT, однако, имеет лучшее энергетическое уплотнение, чем ДПФ со всего несколькими коэффициентов преобразования, представляющих большинство энергии в последовательности. Это свойство DCT делает его полезным в приложениях, таких как передача данных и кодирование сигнала.

Варианты DCT

DCT имеет четыре стандартных варианта. Для сигнала x длины N, и с $δ_{k ℓ}$ Кронекерова дельта, преобразования заданы:

DCT-1:

$y (k) = \sqrt{\frac{2}{N - 1}} \sum_{n = 1}^{N} x (n) \frac{1}{\sqrt{1 + δ_{n 1} + δ_{n N}}} \frac{1}{\sqrt{1 + δ_{k 1} + δ_{k N}}} потому что (\frac{π}{N - 1} (n - 1) (k - 1))$

DCT-2:

$y (k) = \sqrt{\frac{2}{N}} \sum_{n = 1}^{N} x (n) \frac{1}{\sqrt{1 + δ_{k 1}}} потому что (\frac{π}{2 N} (2 n - 1) (k - 1))$

DCT-3:

$y (k) = \sqrt{\frac{2}{N}} \sum_{n = 1}^{N} x (n) \frac{1}{\sqrt{1 + δ_{n 1}}} потому что (\frac{π}{2 N} (n - 1) (2 k - 1))$

DCT-4:

$y (k) = \sqrt{\frac{2}{N}} \sum_{n = 1}^{N} x (n) потому что (\frac{π}{4 N} (2 n - 1) (2 k - 1))$

Функция Signal Processing Toolbox dct вычисляет унитарный DCT входного массива.

Обратные варианты DCT

Все варианты DCT являются унитарными (или, эквивалентно, ортогональными): найти их инверсии, переключатель k и n в каждом определении. В частности, DCT-1 и DCT-4 являются их собственными инверсиями, и DCT-2 и DCT-3 являются инверсиями друг друга:

Инверсия DCT-1:

$x (n) = \sqrt{\frac{2}{N - 1}} \sum_{k = 1}^{N} y (k) \frac{1}{\sqrt{1 + δ_{k 1} + δ_{k N}}} \frac{1}{\sqrt{1 + δ_{n 1} + δ_{n N}}} потому что (\frac{π}{N - 1} (k - 1) (n - 1))$

Инверсия DCT-2:

$x (n) = \sqrt{\frac{2}{N}} \sum_{k = 1}^{N} y (k) \frac{1}{\sqrt{1 + δ_{k 1}}} потому что (\frac{π}{2 N} (k - 1) (2 n - 1))$

Инверсия DCT-3:

$x (n) = \sqrt{\frac{2}{N}} \sum_{k = 1}^{N} y (k) \frac{1}{\sqrt{1 + δ_{n 1}}} потому что (\frac{π}{2 N} (2 k - 1) (n - 1))$

Инверсия DCT-4:

$x (n) = \sqrt{\frac{2}{N}} \sum_{k = 1}^{N} y (k) потому что (\frac{π}{4 N} (2 k - 1) (2 n - 1))$

Функциональный idct вычисляет обратный DCT для входной последовательности, восстанавливая сигнал от полного или частичного набора коэффициентов DCT.

Реконструкция сигнала Используя DCT

Из-за энергетического свойства уплотнения DCT можно восстановить сигнал только от части его коэффициентов DCT. Например, сгенерируйте синусоидальную последовательность на 25 Гц, выбранную на уровне 1 000 Гц.

t = 0:1/1000:1;
x = sin(2*pi*25*t);

Вычислите DCT этой последовательности и восстановите сигнал с помощью только те компоненты со значением, больше, чем 0,1. Определите, сколько коэффициентов из оригинала 1000 удовлетворяет требование.

y = dct(x);
y2 = find(abs(y) < 0.1);
y(y2) = zeros(size(y2));
z = idct(y);

howmany = length(find(y))

howmany = 64

Постройте исходные и восстановленные последовательности.

subplot(2,1,1)
plot(t,x)
ax = axis;
title('Original Signal')

subplot(2,1,2)
plot(t,z)
axis(ax)
title('Reconstructed Signal')

Одной мерой точности реконструкции является норма различия между исходными и восстановленными сигналами, разделенными на норму исходного сигнала. Вычислите эту оценку и выразите ее как процент.

norm(x-z)/norm(x)*100

ans = 1.9437

Восстановленный сигнал сохраняет приблизительно 98% энергии в исходном сигнале.

Смотрите также

dct | idct

Документация