Аналитический графический вывод с Symbolic Math Toolbox

Семейство fplot принимает символьные выражения и уравнения как входные параметры, разрешающие легкий аналитический графический вывод, явным образом не генерируя числовые данные.

Этот пример показывает следующие функции

fplot
fplot3
fsurf
fcontour
fmesh
fimplicit
fimplicit3

В интерактивном режиме функции построения графика одной переменной

syms x
fplot(sin(exp(x)))

fplot([sin(x),cos(x),tan(x)])

Сгенерируйте неявный график символьного выражения

syms x y 
r = 1:10;
fimplicit(x^2+y^2 == r)

Параметрически исследуйте несколько функций с `subs`

syms x a
expression = sin(exp(x/a))

expression =  $\sin (e^{x / a})$

fplot(subs(expression,a,[1,2,4]))
hold off
legend show

Смешайте Символьные и Числовые методы, чтобы разработать математические модели

Исследуйте приближение сплайна к $f (x) = x * e x p (- x) * s i n (5 * x) - 2$

syms f(x)
f(x) = x*exp(-x)*sin(5*x) -2;
xs = 0:1/3:3;
ys = double(subs(f,xs));
fplot(f,[0,3])
hold on
plot(xs,ys,'*k','DisplayName','Data Points')
fplot(@(x) spline(xs,ys,x),[0 3],'DisplayName','Spline interpolant')
hold off
grid on
legend show

Исследуйте явление Гиббса

syms x
n = 5;
approx = cumsum(sin((1:2:2*n-1)*x)./(1:2:2*n-1));
fplot(approx,'LineWidth',1)

Графический вывод результатов вычислений

С символьным входом мы можем выполнить вычисления и построить результаты.

syms f(a,x)
assume(a>0);
f(a,x) = a*x^2+a^2*x+2*sqrt(a)

f(a, x) =  $a x^{2} + a^{2} x + 2 \sqrt{a}$

x_min = solve(diff(f,x), x)

x_min = 
 $- \frac{a}{2}$

fplot(f(a,x_min),[0 5])
xlabel 'a'
title 'Minimum value of f depending on a'

assume(a,'clear')

Визуализируйте ряд и суммирование

syms x
t6 = taylor(cos(x),x,'Order',6)

t6 = 
 $\frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{2}}{2} + 1$

t8 = taylor(cos(x),x,'Order',8)

t8 = 
 $- \frac{x^{6}}{720} + \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{2}}{2} + 1$

fplot([cos(x) t6 t8])
xlim([-4 4])
ylim([-1.5, 1.5])
title '6th and 8th Order Taylor Series approximations to cos(x)'
legend show

Исследуйте функции наряду с их интегралами и производными

Некоторые символьные выражения не могут быть преобразованы в функции MATLAB.

syms x
f = x^x

f =  $x^{x}$

int(f,x)

ans = 
 $\int x^{x} d x$

diff(f,x)

ans =  $x x^{x - 1} + x^{x} журнал (x)$

fplot([f, int(f,x), diff(f,x)],[0 2])
legend show

Сгенерируйте параметрические кривые без явных числовых данных

Кривые $(x (t), y (t))$ или $(x (t), y (t), z (t))$ может чертиться fplot или fplot3 (точно так же, как с plot или plot3 для числовых данных):

syms t
fplot3(sin(t)-t/2,cos(t),t^3,'--','LineWidth',2.5)
view([-45 45])

Сгенерируйте поверхности $z = f (x, y)$ без meshgrid

syms x y
fsurf(sin(x)+sin(y)-(x^2+y^2)/20,'ShowContours','on')
set(camlight,'Color',[0.5 0.5 1]);
set(camlight('left'),'Color', [1 0.6 0.6]);
set(camlight('left'),'Color', [1 0.6 0.6]);
set(camlight('right'),'Color', [0.8 0.8 0.6]);
material shiny
view(-19,56)

Сгенерируйте числовые потоки от аналитических производных с помощью `meshgrid`

syms x y
u = diff(diff(sin(x^2+y^2)))

u =  $2 потому что (x^{2} + y^{2}) - 4 x^{2} \sin (x^{2} + y^{2})$

v = diff(diff(cos(x^2+y^2)))

v =  $- 2 \sin (x^{2} + y^{2}) - 4 x^{2} потому что (x^{2} + y^{2})$

[X, Y] = meshgrid(-3:.1:3,-2:.1:2);
U = subs(u, [x y], {X,Y});
V = subs(v, [x y], {X,Y});

startx = -3:0.1:3;
starty = zeros(size(startx));
h = streamline(X,Y,U,V,X,Y);
for i=1:length(h)-1
    h(i).Color = [rand() rand() rand()];
end

Адаптивная визуализация

Как fplot, fsurf выполняет ваше символьное выражение более плотно при необходимости, чтобы более точно показать изогнутые области и асимптотические области.

fsurf(log(x) + exp(y), [-2 2])

Создайте Неявные поверхности

Постройте неявную поверхность $1 / x^{2} - 1 / y^{2} + 1 / z^{2} = 0$ . Задайте вывод, чтобы заставить fimplicit3 возвратить объект графика.

syms x y z
f = 1/x^2 - 1/y^2 + 1/z^2;
fimplicit3(f)

Визуализируйте многомерные поверхности

В отличие от чистых символьных функций (как int, diff, solve), fsurf не позволяет задавать порядок переменных. Чтобы установить порядок, используйте символьные функции:

syms f(t) x(u,v) y(u,v) z(u,v)
f(t) = sin(t)*exp(-t^2/3)+1.5;
x(u,v) = u

x(u, v) =  $u$

y(u,v) = f(u)*sin(v)

y(u, v) = 
 $\sin (v) (e^{- \frac{u^{2}}{3}} \sin (u) + \frac{3}{2})$

z(u,v) = f(u)*cos(v)

z(u, v) = 
 $потому что (v) (e^{- \frac{u^{2}}{3}} \sin (u) + \frac{3}{2})$

fsurf(x,y,z,[-5 5.1 0 2*pi])

Используйте `fmesh` для 3D сетчатых графиков

Постройте параметризованную mesh

$\begin{array}{l} x = r * c o s (s) * s i n (t) \\ y = r * s i n (s) * s i n (t) \\ z = r * c o s (t) \end{array}$

где $r = 8 + s i n (7 * s + 5 * t)$

syms s t
r = 8 + sin(7*s + 5*t);
x = r*cos(s)*sin(t);
y = r*sin(s)*sin(t);
z = r*cos(t);
fmesh(x, y, z, [0 2*pi 0 pi], 'Linewidth', 2)
axis equal

Сгенерируйте контурный график символьного выражения или уравнения

syms x y g(x,y)
g(x,y) = x^3-4*x-y^2

g(x, y) =  $x^{3} - 4 x - y^{2}$

fcontour(g,[-3 3 -4 4],'LevelList',-6:6)
title 'Some Elliptic Curves'

Документация