Выведите и примените инверсную кинематику, чтобы 2D соединить манипулятор

Этот пример выводит и применяет инверсную кинематику к манипулятору 2D ссылки при помощи MATLAB® и Symbolic Math Toolbox™.

Пример задает объединенные параметры и местоположения исполнительного элемента конца символически, вычисляет и визуализирует решения для прямой и инверсной кинематики и находит системный якобиан, который полезен для симуляции движения манипулятора.

Шаг 1: задайте геометрические параметры

Задайте длины ссылки, объединенные углы и местоположения исполнительного элемента конца роботов как символьные переменные.

syms L_1 L_2 theta_1 theta_2 XE YE

Задайте значения для длин ссылки робота.

L1 = 1;
L2 = 0.5;

Шаг 2: задайте координаты X и Y исполнительного элемента конца

Задайте координаты X и Y исполнительного элемента конца как функция объединенных углов $(θ_{1}, θ_{2})$ .

XE_RHS = L_1*cos(theta_1) + L_2*cos(theta_1+theta_2)

XE_RHS =  $L_{2} потому что (θ_{1} + θ_{2}) + L_{1} потому что (θ_{1})$

YE_RHS = L_1*sin(theta_1) + L_2*sin(theta_1+theta_2)

YE_RHS =  $L_{2} \sin (θ_{1} + θ_{2}) + L_{1} \sin (θ_{1})$

Преобразуйте символьные выражения в функции MATLAB.

XE_MLF = matlabFunction(XE_RHS,'Vars',[L_1 L_2 theta_1 theta_2]);
YE_MLF = matlabFunction(YE_RHS,'Vars',[L_1 L_2 theta_1 theta_2]);

Шаг 3: вычислите и визуализируйте прямую кинематику

Кинематика Foward преобразовывает объединенные углы в местоположения исполнительного элемента конца: $(θ_{1}, θ_{2}) ⟶ f (θ_{1}, θ_{2}) ⟶ (X_{E}, Y_{E})$ . Учитывая определенные значения объединенного угла, используйте прямую кинематику, чтобы вычислить местоположения исполнительного элемента конца.

Задайте входные значения объединенных углов как $0^{\circ} < θ_{1} < 90^{\circ}$ и ${- 180}^{\circ} < θ_{2} < 180^{\circ}$ .

t1_degs_row = linspace(0,90,100);
t2_degs_row = linspace(-180,180,100);
[tt1_degs,tt2_degs] = meshgrid(t1_degs_row,t2_degs_row);

Преобразуйте угловые единицы от степеней до радианов.

tt1_rads = deg2rad(tt1_degs);
tt2_rads = deg2rad(tt2_degs);

Вычислите координаты X и Y с помощью функций MATLAB XE_MLF и YE_MLF, соответственно.

X_mat = XE_MLF(L1,L2,tt1_rads,tt2_rads);
Y_mat = YE_MLF(L1,L2,tt1_rads,tt2_rads);

Визуализируйте координаты X и Y с помощью функции помощника plot_XY_given_theta_2dof.

plot_XY_given_theta_2dof(tt1_degs,tt2_degs,X_mat,Y_mat,(L1+L2))

Шаг 4: найдите инверсную кинематику

Инверсная кинематика преобразовывает местоположения исполнительного элемента конца в объединенные углы: $(X_{E}, Y_{E}) ⟶ g (X_{E}, Y_{E}) ⟶ (θ_{1}, θ_{2})$ . Найдите инверсную кинематику от прямых уравнений кинематики.

Определите прямые уравнения кинематики.

XE_EQ = XE == XE_RHS;
YE_EQ = YE == YE_RHS;

Решите для $θ_{1}$ и $θ_{2}$ .

S = solve([XE_EQ YE_EQ], [theta_1 theta_2])

S = struct with fields:
    theta_1: [2x1 sym]
    theta_2: [2x1 sym]

Структура S представляет несколько решений для $θ_{1}$ и $θ_{2}$ . Покажите пару решений для $θ_{1}$ .

simplify(S.theta_1)

ans = 
 $\begin{array}{l} (\begin{matrix} 2 atan (\frac{2 L_{1} ВЫ + σ_{1}}{{L_{1}}^{2} + 2 L_{1} XE - {L_{2}}^{2} + {XE}^{2} + {ВЫ}^{2}}) \\ 2 atan (\frac{2 L_{1} ВЫ - σ_{1}}{{L_{1}}^{2} + 2 L_{1} XE - {L_{2}}^{2} + {XE}^{2} + {ВЫ}^{2}}) \end{matrix}) \\ где \\ σ_{1} = \sqrt{- {L_{1}}^{4} + 2 {L_{1}}^{2} {L_{2}}^{2} + 2 {L_{1}}^{2} {XE}^{2} + 2 {L_{1}}^{2} {ВЫ}^{2} - {L_{2}}^{4} + 2 {L_{2}}^{2} {XE}^{2} + 2 {L_{2}}^{2} {ВЫ}^{2} - {XE}^{4} - 2 {XE}^{2} {ВЫ}^{2} - {ВЫ}^{4}} \end{array}$

Покажите пару решений для $θ_{2}$ .

simplify(S.theta_2)

ans = 
 $\begin{array}{l} (\begin{matrix} - σ_{1} \\ σ_{1} \end{matrix}) \\ где \\ σ_{1} = 2 atan (\frac{\sqrt{(- {L_{1}}^{2} + 2 L_{1} L_{2} - {L_{2}}^{2} + {XE}^{2} + {ВЫ}^{2}) ({L_{1}}^{2} + 2 L_{1} L_{2} + {L_{2}}^{2} - {XE}^{2} - {ВЫ}^{2})}}{- {L_{1}}^{2} + 2 L_{1} L_{2} - {L_{2}}^{2} + {XE}^{2} + {ВЫ}^{2}}) \end{array}$

Преобразуйте решения в функции MATLAB, которые можно использовать позже. Функции TH1_MLF и TH2_MLF представляют инверсную кинематику.

TH1_MLF{1} = matlabFunction(S.theta_1(1),'Vars',[L_1 L_2 XE YE]);
TH1_MLF{2} = matlabFunction(S.theta_1(2),'Vars',[L_1 L_2 XE YE]);
TH2_MLF{1} = matlabFunction(S.theta_2(1),'Vars',[L_1 L_2 XE YE]);
TH2_MLF{2} = matlabFunction(S.theta_2(2),'Vars',[L_1 L_2 XE YE]);

Шаг 5: вычислите и визуализируйте инверсную кинематику

Используйте инверсную кинематику, чтобы вычислить $θ_{1}$ и $θ_{2}$ от координат X и Y.

Задайте узлы решетки координат X и Y.

[xmat,ymat] = meshgrid(0:0.01:1.5,0:0.01:1.5);

Вычислите углы $θ_{1}$ и $θ_{2}$ использование функций MATLAB TH1_MLF{1} и TH2_MLF{1}, соответственно.

tmp_th1_mat = TH1_MLF{1}(L1,L2,xmat,ymat);
tmp_th2_mat = TH2_MLF{1}(L1,L2,xmat,ymat);

Преобразуйте угловые единицы от радианов до степеней.

tmp_th1_mat = rad2deg(tmp_th1_mat);
tmp_th2_mat = rad2deg(tmp_th2_mat);

Некоторые входные координаты, такой как (X, Y) = (1.5 1.5), вне достижимой рабочей области исполнительного элемента конца. Решения для инверсной кинематики могут сгенерировать некоторые мнимые значения теты, которые требуют исправления. Исправьте мнимые значения теты.

th1_mat = NaN(size(tmp_th1_mat));
th2_mat = NaN(size(tmp_th2_mat));

tf_mat = imag(tmp_th1_mat) == 0;
th1_mat(tf_mat) = real(tmp_th1_mat(tf_mat));

tf_mat = imag(tmp_th2_mat) == 0;
th2_mat(tf_mat) = real(tmp_th2_mat(tf_mat));

Визуализируйте углы $θ_{1}$ и $θ_{2}$ использование помощника функционирует plot_theta_given_XY_2dof.

plot_theta_given_XY_2dof(xmat,ymat,th1_mat,th2_mat)

Шаг 6: вычислите системный якобиан

Определение системного якобиана:

$J = \frac{d (X, Y)}{d (θ_{1}, θ_{2})} = (\begin{matrix} \frac{d X}{d θ_{1}} & \frac{d X}{d θ_{2}} \\ \frac{d Y}{d θ_{1}} & \frac{d Y}{d θ_{2}} \end{matrix})$

the_J = jacobian([XE_RHS YE_RHS],[theta_1 theta_2])

the_J = 
 $(\begin{matrix} - L_{2} \sin (θ_{1} + θ_{2}) - L_{1} \sin (θ_{1}) & - L_{2} \sin (θ_{1} + θ_{2}) \\ L_{2} потому что (θ_{1} + θ_{2}) + L_{1} потому что (θ_{1}) & L_{2} потому что (θ_{1} + θ_{2}) \end{matrix})$

Можно связать объединенную скорость в-конец-исполнительного-элемента скорости, и наоборот, при помощи системного якобиана:

$(\begin{matrix} \frac{d X}{d t} \\ \frac{d Y}{d t} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{d X}{d θ_{1}} & \frac{d X}{d θ_{2}} \\ \frac{d Y}{d θ_{1}} & \frac{d Y}{d θ_{2}} \end{matrix}) . (\begin{matrix} \frac{d θ_{1}}{d t} \\ \frac{d θ_{2}}{d t} \end{matrix})$

$(\begin{matrix} \frac{d X}{d t} \\ \frac{d Y}{d t} \end{matrix}) = J . (\begin{matrix} \frac{d θ_{1}}{d t} \\ \frac{d θ_{2}}{d t} \end{matrix})$

$(\begin{matrix} \frac{d θ_{1}}{d t} \\ \frac{d θ_{2}}{d t} \end{matrix}) = J^{+} . (\begin{matrix} \frac{d X}{d t} \\ \frac{d Y}{d t} \end{matrix}) w h e r e J^{+} псевдоинверсия Мура-Пенроуза J$

Можно также преобразовать символьное выражение якобиана к блоку MATLAB function. Моделируйте местоположения исполнительного элемента конца робота на траектории путем определения нескольких waypoints как входных параметров к модели Simulink. Модель Simulink может вычислить профиль движения на основе объединенных угловых значений, чтобы достигнуть каждого waypoint в траектории. Для получения дополнительной информации смотрите Инверсную кинематику Манипулятора с 2 ссылками и Преподающий Динамику Твердого тела.

Функции помощника

function plot_theta_given_XY_2dof(X_mat,Y_mat,theta_1_mat_degs,...
                                  theta_2_mat_degs)

xlab_str = 'X (m)';
ylab_str = 'Y (m)';

figure;
hax(1) = subplot(1,2,1);
   contourf(X_mat, Y_mat, theta_1_mat_degs);
      caxis(hax(1), [-180 180]);
      colormap(gca,'jet'); colorbar
      xlabel(xlab_str, 'Interpreter', 'tex');
      ylabel(ylab_str, 'Interpreter', 'tex');
      title(hax(1), '\theta_1', 'Interpreter', 'tex')
      axis('equal')
hax(2) = subplot(1,2,2);
   contourf(X_mat, Y_mat, theta_2_mat_degs);
      caxis(hax(2), [-180 180]);
      colormap(gca,'jet'); colorbar
      xlabel(xlab_str, 'Interpreter', 'tex');
      ylabel(ylab_str, 'Interpreter', 'tex');
      title(hax(2), '\theta_2', 'Interpreter', 'tex')
      axis('equal')

end


function plot_XY_given_theta_2dof(theta_1_mat_degs,theta_2_mat_degs,...
                                  X_mat,Y_mat,a_cmax)
                              
xlab_str = '\theta_1 (degs)';
ylab_str = '\theta_2 (degs)';

figure;
hax(1) = subplot(1,2,1);
   contourf(theta_1_mat_degs, theta_2_mat_degs, X_mat);
      caxis(hax(1), [0 a_cmax]);
      colormap(gca,'jet'); colorbar
      xlabel(xlab_str, 'Interpreter', 'tex');
      ylabel(ylab_str, 'Interpreter', 'tex');
      title(hax(1), 'X_E', 'Interpreter', 'tex')
hax(2) = subplot(1,2,2);
   contourf(theta_1_mat_degs, theta_2_mat_degs, Y_mat); 
      caxis(hax(1), [0 a_cmax]);
      colormap(gca,'jet'); colorbar
      xlabel(xlab_str, 'Interpreter', 'tex');
      ylabel(ylab_str, 'Interpreter', 'tex');
      title(hax(2), 'Y_E', 'Interpreter', 'tex')

end

Документация