`числовой::`

Интерполяция 2-мерными сплайнами bi-cubic

Блокноты MuPAD® будут демонтированы в будущем релизе. Используйте live скрипты MATLAB® вместо этого.

Live скрипты MATLAB поддерживают большую часть функциональности MuPAD, хотя существуют некоторые различия. Для получения дополнительной информации смотрите, Преобразовывают Notebook MuPAD в Live скрипты MATLAB.

Синтаксис

numeric::cubicSpline2d([x₀, x₁, …, x_n], [y₀, y₁, …, y_m], z, <[xBC, yBC]>, <Symbolic>)

Описание

_{numeric::cubicSpline2d([ x0, x1, ...], [ y0, y1, ...], z)} возвращает функцию сплайна bi-cubic интерполяция данных z _{i, j} по прямоугольной mesh (x _i, y _j).

Вызов _{S := numeric::cubicSpline2d([x0, …, xn], [y0, …, yn], z, Option)} приводит к кубической функции сплайна S, интерполирующий данные (x _i, y _j, z _{i, j}), т.е., S (x _i, y _j) = z _{i, j} для i = 0, …, n, j = 0, …, m. Функция сплайна является кусочным bi-кубическим-полиномом: на 'закрашенной фигуре'

это имеет представление

с подходящими коэффициентами a _{i, j} ^{(u, v)} в зависимости от закрашенной фигуры. Сплайн S и его частные производные S _x, S _y, S _xx, S _xy, S _yy, S _xxy, S _xyy, S _xxyy является непрерывными функциями по целому x, плоскости y. В x - направление, S расширяет полиномиальное представление на граничных закрашенных фигурах и к и, соответственно. То же самое содержит относительно y - направление.

По умолчанию граничные условия NotAKnot приняты, т.е. частные производные S _xxx, S _yyy, …, S _xxxyyy, непрерывен в точках с x - координирует x ₁ и x_{, n - 1} или y - координирует y ₁ и y _{m - 1}.

По умолчанию все входные данные преобразованы в числа с плавающей запятой. Это преобразование может быть подавлено опцией Symbolic.

Без опции Symbolic, абсциссы x _i, y _j должен быть числовыми действительными значениями в порядке возрастания. Если эти данные не упорядочены, то numeric::cubicSpline2d переупорядочивает абсциссы внутренне, выдавая предупреждение.

Функциональный S, возвращенный numeric::cubicSpline2d, может быть вызван два, три, четыре, или пять аргументов, соответственно:

S(x, y) вызова возвращает арифметическое выражение, если x и y являются числовыми выражениями. Плавание возвращено, если или x или y являются плаванием, и все включенные параметры могут быть преобразованы в плавания.
Если или x или y содержат символьные объекты, символьный вызов, S(x, y) возвращен.
Вызов S(x, y, [u, v]) с неотрицательными целыми числами u, v возвращает частную производную сплайна. Если или x или y содержат символьные объекты, символьный вызов, S(x, y, [u, v]) возвращен. Результат 0 если любой u> 3 или v> 3. Вызовы S(x, y, [0, 0]) и S(x, y) эквивалентны.
Вызов S(x, y, i, j) с неотрицательными целыми числами i, j возвращает полиномиальное представление сплайна на закрашенной фигуре p _{i, j}. Здесь, x и y могут быть произвольными числовыми или символьными арифметическими выражениями. Внутренне, (x, y) приняты, чтобы лечь в закрашенной фигуре p _{i, j}.
Вызов S(x, y, i, j, [u, v]) с неотрицательными целыми числами i, j, u, v возвращает полиномиальное представление частных производных функции сплайна. В этом вызове x и y могут быть произвольными числовыми или символьными арифметическими выражениями, которые приняты, чтобы лечь в закрашенной фигуре p _{i, j}. Результат 0 если любой u> 3 или v> 3. Вызовы S(x, y, i, j, [0, 0]) и S(x, y, i, j) эквивалентны.

Если S сгенерирован с символьными абсциссами x _i, y _j (обязательно использующий опцию Symbolic), вызов, S(x, y, [ u , v ]) возвращен символически. Вызов S(x, y, i, j, [ u , v ]) должен использоваться для символьных абсцисс!

Примеры

Пример 1

Мы демонстрируем некоторые вызовы с числовыми входными данными. Функциональный f (x, y) = sin (2 π (x + y)) с 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 должен быть интерполирован n + 1 = 11 равноотстоящих точек в x - направление и m + 1 = 13 равноотстоящих точек в y - направление:

f := (x, y) -> sin((x + y)*2*PI):
n := 10: x := [i/n $ i = 0..n]:
m := 12: y := [j/m $ j = 0..m]:
z := array(0..n, 0..m, [[f(i/n, j/m) $ j = 0..m] $ i = 0..n]):
S1 := numeric::cubicSpline2d(x, y, z, [NotAKnot, NotAKnot]):
S2 := numeric::cubicSpline2d(x, y, z, [Natural, Natural]):
S3 := numeric::cubicSpline2d(x, y, z, [NotAKnot, Periodic]):

Мы рассматриваем граничные условия Complete в y - направление. Они состоят из значений f _y (x _i, y ₀) = f _y (x _i, 0) = 2 π cos (2 π x _i) и f _y (x _i, y _m) = f _y (x _i, 1) = 2 π cos (2 π x _i):

ybc:= [[2*PI*cos(2*PI*i/n) $ i = 0..n], 
       [2*PI*cos(2*PI*i/n) $ i = 0..n]]:
S4 := numeric::cubicSpline2d(x, y, z, [Periodic, Complete = ybc]):

В точках mesh (x _i, y _j), входные данные z _i,воспроизводится _j:

x := 4/n: y := 8/m:
float(f(x, y)), S1(x, y), S2(x, y), S3(x, y), S4(x, y)

Интерполяция между точками mesh зависит от граничного условия:

x := 0.92: y:= 0.55: S1(x, y), S2(x, y), S3(x, y), S4(x, y)

Приближение значения функции f (0.92, 0.55) хорош для NotAKnot, Periodic и граничных условий Complete. Граничные условия Natural являются менее соответствующими, потому что вторые частные производные функционального f не исчезают на контурах. Следовательно, ошибка приближения S2 больше, чем другие ошибки приближения:

z := float(f(x, y)): 
S1(x, y) - z, S2(x, y) - z, S3(x, y) - z, S4(x, y) - z

Это - bi-кубический-полином в X, Y, задающий сплайн S1 на закрашенной фигуре:

expand(S1(X, Y, 0, 3))

delete f, n, m, ybc, x, y, z, S1, S2, S3, S4:

Пример 2

Мы демонстрируем некоторые вызовы с символьными данными. С опцией Symbolic используется точная арифметика:

S := numeric::cubicSpline2d(
       [i $ i = 0..3], 
       [j $ j = 0..4],
       array(0..3, 0..4, [[z.i.j $ j = 0..4] $ i = 0..3]),
       Symbolic
    ):

S(1/2, 3/2)

Это - bi-кубический-полином в X, Y, задающий сплайн с x ₀ = 0 ≤ X ≤ x ₁ = 1, y ₁ = 1 ≤ Y ≤ y ₂ = 2:

expand(S(X, Y, 0, 1))

delete S:

Пример 3

Мы рассматриваем интерполяцию сплайна функции с - 1 ≤ x ≤ 1, - 1 ≤ y ≤ 1:

n := 10: xmesh := [-1 + 2*i/n $ i = 0..n]: 
m := 12: ymesh := [-1 + 2*j/n $ j = 0..m]:
f := (x, y) -> exp(-x^2 - y^2):
z := array(0..n, 0..m, 
     [[f(-1 + 2*i/n, -1 + 2*j/m) $ j=0..m] $ i = 0..n]):
S := numeric::cubicSpline2d(xmesh, ymesh, z):

Мы строим функцию сплайна S (x, y):

plotfunc3d(S(x, y), x = -1 .. 1, y = -1 .. 1):

Мы строим частную производную S _xxxyyy (x, y). Это постоянно на каждой закрашенной фигуре с, схватил контуры закрашенных фигур. Использование средства отображения [5 n + 1, 5 m + 1] поймало в сети точки: в каждом направлении 4 дополнительных очка между смежными точками mesh сплайна используются для графического представления:

plotfunc3d(S(x, y, [3, 3])/10, x = -1 .. 1, y = -1 .. 1,
           Mesh = [5*n + 1, 5*m+ 1])

delete n, xmesh, m, ymesh, f, z, S:

Пример 4

Мы демонстрируем интерпретацию сплайна поверхности. Мы считаем сферу параметризованной сферическими координатами u, v с 0 ≤ u ≤ 2 π, 0 ≤ v ≤ π:

Мы интерполируем функции x, y, z по прямоугольной mesh в u - v-плоскость. Начиная с x y и (trivally) z является 2 π-periodic в u, мы выбираем граничные условия Periodic для u. Для v мы выбираем граничные условия Complete с граничными значениями первого частичного v - производная, соответствующая параметризации:

x:= (u, v) -> cos(u)*sin(v): x_v := diff(x(u, v), v):
y:= (u, v) -> sin(u)*sin(v): y_v := diff(y(u, v), v):
z:= (u, v) -> cos(v): z_v := diff(z(u, v), v):
n := 4: umesh := [i*2*PI/n $ i = 0..n]:
m := 4: vmesh := [j*PI/m $ j = 0..m]:

vBC := Complete = [
    [subs(x_v, u = umesh[i], v = vmesh[1]) $ i = 1 .. n+1],
    [subs(x_v, u = umesh[i], v = vmesh[n + 1]) $ i = 1 .. n+1]]:
X := numeric::cubicSpline2d(umesh, vmesh,
  array(0..n, 0..m, [[x(i*2*PI/n, j*PI/m) $ j=0..m] $ i=0..n]),
  [Periodic, vBC]):

vBC := Complete = [
    [subs(y_v, u = umesh[i], v = vmesh[1]) $ i = 1 .. n+1],
    [subs(y_v, u = umesh[i], v = vmesh[n + 1]) $ i = 1 .. n+1]]:
Y := numeric::cubicSpline2d(umesh, vmesh,
   array(0..n, 0..m, [[y(i*2*PI/n, j*PI/m) $ j=0..m] $ i=0..n]),
   [Periodic, vBC]):

vBC := Complete = [
    [subs(z_v, u = umesh[i], v = vmesh[1]) $ i = 1 .. n+1],
    [subs(z_v, u = umesh[i], v = vmesh[n + 1]) $ i = 1 .. n+1]]:
Z := numeric::cubicSpline2d(umesh, vmesh,
   array(0..n, 0..m, [[z(i*2*PI/n, j*PI/m) $ j=0..m] $ i=0..n]),
   [Periodic, vBC]):

С только (n + 1) × (m + 1) = 5×5 точки mesh, поверхность сплайна приводит к значительному приближению сферы. Узлы интерполяции добавляются к графику как синие точки:

plot(
  plot::Surface([X(u, v), Y(u, v), Z(u, v)], 
                 u = 0..2*PI, v = 0..PI,
                 Mesh = [5*n + 1, 5*m + 1],
                 Color = RGB::Red),
  plot::Point3d(x(umesh[i], vmesh[j]), 
                y(umesh[i], vmesh[j]), 
                z(umesh[i], vmesh[j]),
                PointSize = 2*unit::mm,
                Color = RGB::Blue
               ) $ i = 1..n+1 $ j = 1..m+1
):

delete x, x_v, y, y_v, z, z_v, n, m, 
       umesh, vmesh, vBC, X, Y, Z:

Параметры

`_{x0, x1, …}`, `_xn`	x - координаты узлов: отличные числовые действительные значения в порядке возрастания
`_{y0, y1, …}`, `_ym`	y - координаты узлов: отличные числовые действительные значения в порядке возрастания
`z`	Значения функции: массив формы `array(0..n, 0..m, [...])` с числовыми или символьными арифметическими выражениями.
`xBC`, `yBC`	Тип граничного условия: граничное условие в x - или y - направление может быть одним из флагов `NotAKnot`, `Natural`, `Periodic` или `Complete = [...]`. Граничные условия `Complete` состоят из заданных значений для производных S _x или S _y, соответственно, вдоль контуров mesh в x - или y - направление, соответственно. В x - направление, которое они оценивают, может быть передано в форме `_{Complete = [[a0, …, am], [b0, …, bm]]}` с произвольными числовыми или символьными арифметическими выражениями `_{a0, …, bm}`. В y - направление, которое они оценивают, может быть передано в форме `_{Complete = [[a0, …, an], [b0, …, bn]]}` с произвольными числовыми или символьными арифметическими выражениями `_{a0, …, bn}`.

Опции

`Symbolic`	При использовании этой опции не происходит никакое преобразование входных данных к числам с плавающей точкой. Символьные абсциссы x _i, y _j приняты. Упорядоченное расположение x ₀ <x ₁ <… <x _n, y ₀ <y ₁ <… <y _m принят. Это упорядоченное расположение не проверяется, даже если координаты узла числовые!
`NotAKnot`	С граничным условием по умолчанию `xBC` = `yBC` = `NotAKnot`, все частные производные функции сплайна непрерывны в узлах с x - координирует x ₁ и x_{, n - 1} или y - координирует y ₁ и y _{m - 1}, соответственно. С этим граничным условием `S` является полиномом на объединении закрашенных фигур p _{0, j}, p _{1, j} и p _{n - 2, j}, p _{n - 1, j} или p _{i, 0}, p _{i, 1} и p _{i, m - 2}, p _{i, m - 1}, соответственно. Это граничное условие рекомендуется, если никакая информация о поведении данных около контуров mesh не доступна.
`Natural`	Граничное условие `Natural` производит функцию сплайна `S` с исчезающими вторыми частными производными на контуре mesh. Это граничное условие рекомендуется, если известно, что данные соответствуют поверхности с исчезающим искривлением около контуров mesh.
`Periodic`	Граничное условие `Periodic` производит функцию сплайна удовлетворение `S` Или , Соответственно. При использовании этой опции, входные данные z _{0, j}, z _{n, j}, соответственно z _{i, 0}, z должен совпасть _{i, m}. В противном случае ошибка повышена. Это граничное условие рекомендуется, если интерполяция должна представлять периодическую функцию.
`Complete`	Опция, заданная как `Complete = [...]` Граничное условие `xBC` `_{Complete = [[a0, …, am], [b0, …, bm]]}` производит функцию сплайна S, удовлетворяющий S _x (x ₀, y _j) = a _j, S _x (x _n, y _j) = b _j, j = 0, …, m. Граничное условие `yBC` `_{Complete = [[a0, …, an], [b0, …, bn]]}` производит функцию сплайна S, удовлетворяющий S _y (x _i, y ₀) = a _i, S _y (x _i, y _m) = b _i, i = 0, …, n. Символьные данные a _k, b _k принят. Это граничное условие рекомендуется если данные z _{i, j} correpond к функции с известными значениями первых частных производных на контурах mesh.

Документация

`числовой::`

Синтаксис

Описание

Примеры

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Параметры

Опции

Возвращаемые значения

Смотрите также

Функции MuPAD

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка