Этот пример иллюстрирует как GlobalSearch
находит глобальный минимум эффективно, и как MultiStart
находит намного больше локальных минимумов.
Целевая функция для этого примера имеет много локальных минимумов и уникальный глобальный минимум. В полярных координатах функция
f (r, t) = g (r) h (t),
где
Глобальный минимум в r = 0 с целевой функцией 0. Функциональный g (r) растет приблизительно линейно в r с повторяющейся пилообразной формой. Функциональный h (t) имеет два локальных минимума, один из которых является глобальной переменной.
Запишите файл функции, чтобы вычислить цель:
function f = sawtoothxy(x,y) [t r] = cart2pol(x,y); % change to polar coordinates h = cos(2*t - 1/2)/2 + cos(t) + 2; g = (sin(r) - sin(2*r)/2 + sin(3*r)/3 - sin(4*r)/4 + 4) ... .*r.^2./(r+1); f = g.*h; end
Создайте структуру задачи. Используйте 'sqp'
алгоритм для fmincon
:
problem = createOptimProblem('fmincon',... 'objective',@(x)sawtoothxy(x(1),x(2)),... 'x0',[100,-50],'options',... optimoptions(@fmincon,'Algorithm','sqp','Display','off'));
Стартовой точкой является [100,-50]
вместо [0,0]
, так GlobalSearch
не запускается в глобальном решении.
Подтвердите структуру задачи путем выполнения fmincon
:
[x,fval] = fmincon(problem) x = 45.7332 -107.6469 fval = 555.5422
Создайте GlobalSearch
объект и набор итеративное отображение:
gs = GlobalSearch('Display','iter');
Запустите решатель:
rng(14,'twister') % for reproducibility [x,fval] = run(gs,problem) Num Pts Best Current Threshold Local Local Analyzed F-count f(x) Penalty Penalty f(x) exitflag Procedure 0 200 555.5 555.5 0 Initial Point 200 1479 1.547e-15 1.547e-15 1 Stage 1 Local 300 1580 1.547e-15 5.858e+04 1.074 Stage 2 Search 400 1680 1.547e-15 1.84e+05 4.16 Stage 2 Search 500 1780 1.547e-15 2.683e+04 11.84 Stage 2 Search 600 1880 1.547e-15 1.122e+04 30.95 Stage 2 Search 700 1980 1.547e-15 1.353e+04 65.25 Stage 2 Search 800 2080 1.547e-15 6.249e+04 163.8 Stage 2 Search 900 2180 1.547e-15 4.119e+04 409.2 Stage 2 Search 950 2372 1.547e-15 477 589.7 387 2 Stage 2 Local 952 2436 1.547e-15 368.4 477 250.7 2 Stage 2 Local 1000 2484 1.547e-15 4.031e+04 530.9 Stage 2 Search GlobalSearch stopped because it analyzed all the trial points. 3 out of 4 local solver runs converged with a positive local solver exit flag. x = 1.0e-07 * 0.0414 0.1298 fval = 1.5467e-15
Можно получить различные результаты, начиная с GlobalSearch
является стохастическим.
Решатель нашел три локальных минимума, и он нашел глобальный минимум около [0,0]
.
Запишите файл функции, чтобы вычислить цель:
function f = sawtoothxy(x,y) [t r] = cart2pol(x,y); % change to polar coordinates h = cos(2*t - 1/2)/2 + cos(t) + 2; g = (sin(r) - sin(2*r)/2 + sin(3*r)/3 - sin(4*r)/4 + 4) ... .*r.^2./(r+1); f = g.*h; end
Создайте структуру задачи. Используйте fminunc
решатель с Algorithm
набор опции к 'quasi-newton'
. Причины этого выбора:
Проблема неограничена. Поэтому fminunc
соответствующий решатель; см. Таблицу решений Оптимизации (Optimization Toolbox).
fminunc
по умолчанию алгоритм требует градиента; смотрите Выбор Algorithm (Optimization Toolbox). Поэтому установите
Algorithm
к 'quasi-newton'
.
problem = createOptimProblem('fminunc',... 'objective',@(x)sawtoothxy(x(1),x(2)),... 'x0',[100,-50],'options',... optimoptions(@fminunc,'Algorithm','quasi-newton','Display','off'));
Подтвердите структуру задачи путем выполнения его:
[x,fval] = fminunc(problem) x = 1.7533 -111.9488 fval = 577.6960
Создайте MultiStart
по умолчанию объект:
ms = MultiStart;
Запустите решатель для 50 итераций, записав локальные минимумы:
% rng(1) % uncomment to obtain the same result [x,fval,eflag,output,manymins] = run(ms,problem,50) MultiStart completed some of the runs from the start points. 9 out of 50 local solver runs converged with a positive local solver exit flag. x = -142.4608 406.8030 fval = 1.2516e+03 eflag = 2 output = struct with fields: funcCount: 8586 localSolverTotal: 50 localSolverSuccess: 9 localSolverIncomplete: 41 localSolverNoSolution: 0 message: 'MultiStart completed some of the runs from the start points.↵↵9 out of 50 local solver runs converged with a positive local solver exit flag.' manymins = 1×9 GlobalOptimSolution array with properties: X Fval Exitflag Output X0
Можно получить различные результаты, начиная с MultiStart
является стохастическим.
Решатель не нашел глобальный минимум около [0,0]
. Это нашло 10 отличных локальных минимумов.
Постройте значения функции в локальных минимумах:
histogram([manymins.Fval],10)
Постройте значения функции в трех лучших точках:
bestf = [manymins.Fval]; histogram(bestf(1:3),10)
MultiStart
запущенный fminunc
от стартовых точек с компонентами, равномерно распределенными между –1000 и 1000. fminunc
часто застревал в одном из многих локальных минимумов. fminunc
превышенный его предел итерации или функциональная оценка ограничивают 40 раз.