Считайте задачу нахождения решением системы нелинейных уравнений, якобиан которых разрежен. Размерность проблемы в этом примере 1000. Цель состоит в том, чтобы найти x таким образом что F (x) = 0. Принимая n = 1000, нелинейные уравнения
Чтобы решить большую нелинейную систему уравнений, F (x) = 0, можно использовать доверительную область отражающий алгоритм, доступный в fsolve, крупномасштабный алгоритм (Крупномасштабный по сравнению с Алгоритмами Средней шкалы).
function [F,J] = nlsf1(x) % Evaluate the vector function n = length(x); F = zeros(n,1); i = 2:(n-1); F(i) = (3-2*x(i)).*x(i)-x(i-1)-2*x(i+1) + 1; F(n) = (3-2*x(n)).*x(n)-x(n-1) + 1; F(1) = (3-2*x(1)).*x(1)-2*x(2) + 1; % Evaluate the Jacobian if nargout > 1 if nargout > 1 d = -4*x + 3*ones(n,1); D = sparse(1:n,1:n,d,n,n); c = -2*ones(n-1,1); C = sparse(1:n-1,2:n,c,n,n); e = -ones(n-1,1); E = sparse(2:n,1:n-1,e,n,n); J = C + D + E; end
xstart = -ones(1000,1);
fun = @nlsf1;
options = optimoptions(@fsolve,'Display','iter',...
'Algorithm','trust-region',...
'SpecifyObjectiveGradient',true,'PrecondBandWidth',0);
[x,fval,exitflag,output] = fsolve(fun,xstart,options);Начальная точка дана, а также имя функции. Метод по умолчанию для fsolve доверительное резкое искривление области, таким образом, необходимо задать 'Algorithm' как 'trust-region' в options аргумент для того, чтобы выбрать алгоритм доверительной области. Установка Display опция к 'iter' причины fsolve отображать вывод в каждой итерации. Установка 'SpecifyObjectiveGradient' к true, причины fsolve использовать якобиевскую информацию, доступную в nlsf1.m.
Команды отображают этот вывод:
Norm of First-order
Iteration Func-count f(x) step optimality
0 1 1011 19
1 2 16.1942 7.91898 2.35
2 3 0.0228027 1.33142 0.291
3 4 0.000103359 0.0433329 0.0201
4 5 7.3792e-07 0.0022606 0.000946
5 6 4.02299e-10 0.000268381 4.12e-05
Equation solved, inaccuracy possible.
fsolve stopped because the vector of function values is near zero, as measured by the value
of the function tolerance. However, the last step was ineffective.Линейная система (приблизительно) решена в каждой главной итерации с помощью предобусловленного метода сопряженных градиентов. Установка PrecondBandWidth к 0 в options означает, что диагональный предварительный формирователь используется. (PrecondBandWidth задает пропускную способность матрицы перед созданием условий. Пропускная способность 0 средних значений там является только одной диагональю в матрице.)
От значений оптимальности первого порядка быстро происходит линейная сходимость. Количество итераций метода сопряженных градиентов (CG), требуемых на главную итерацию, является низким, самое большее пять для проблемы 1 000 размерностей, подразумевая, что линейные системы не очень затрудняют, чтобы решить в этом случае (хотя больше, работа требуется как сходимость, прогрессирует).
Если вы хотите использовать трехдиагональный предварительный формирователь, т.е. матрицу перед созданием условий с тремя диагоналями (или пропускная способность одной), установите PrecondBandWidth к значению 1:
options = optimoptions(@fsolve,'Display','iter','SpecifyObjectiveGradient',true,... 'Algorithm','trust-region','PrecondBandWidth',1); [x,fval,exitflag,output] = fsolve(fun,xstart,options);
В этом случае выход
Norm of First-order
Iteration Func-count f(x) step optimality
0 1 1011 19
1 2 16.0839 7.92496 1.92
2 3 0.0458181 1.3279 0.579
3 4 0.000101184 0.0631898 0.0203
4 5 3.16615e-07 0.00273698 0.00079
5 6 9.72481e-10 0.00018111 5.82e-05
Equation solved, inaccuracy possible.
fsolve stopped because the vector of function values is near zero, as measured by the value
of the function tolerance. However, the last step was ineffective.Обратите внимание на то, что несмотря на то, что то же количество итераций происходит, количество итераций PCG понизилось, так меньше, работа делается на итерацию. Смотрите Предобусловленный Метод сопряженных градиентов.
Установка PrecondBandWidth к Inf (это - значение по умолчанию), означает, что решатель использует факторизацию Холесского, а не PCG.