Рассчитывание регулятивного капитала с моделью ASRF

В этом примере показано, как вычислить потребности в капитале и подверженный риску значения (VaR) для кредита чувствительный портфель воздействий с помощью модели асимптотического одного фактора риска (ASRF). Этот пример также показывает, как вычислить Базельские потребности в капитале с помощью модели ASRF.

Модель ASRF

Модель ASRF задает капитал как значение в опасности (VaR) кредита сверх ожидаемой потери (EL).

$c a p i t a l = V a R - E L$

где EL для данного контрагента является воздействием в значении по умолчанию (EAD), умноженным на вероятность значения по умолчанию (PD) и потеря, данная значение по умолчанию (LGD).

$E L = E A D * P D * L G D$

Чтобы вычислить кредит VaR, модель ASRF принимает, что кредитоспособность должника моделируется со скрытой переменной (A) использование одной факторной модели, где один общий множитель (Z) представляет системный кредитный риск на рынке.

$A_{i} = \sqrt{ρ_{i}} \cdot Z + \sqrt{1 - ρ_{i}} \cdot ϵ$

В соответствии с этой моделью, потери по умолчанию для конкретного сценария вычисляются как:

$L = E A D \cdot I \cdot L G D$

где я - индикатор по умолчанию и имею значение 1 если $A_{i} < Φ_{A}^{- 1} (P D_{i})$ (значение скрытой переменной упало ниже порога для значения по умолчанию), и значение 0 в противном случае. Ожидаемым значением условного выражения индикатора по умолчанию на общем множителе дают:

$E (I_{i} | Z) = Φ_{ϵ} (\frac{Φ_{A}^{- 1} (P D_{i}) - \sqrt{ρ_{i}} Z}{\sqrt{1 - ρ_{i}}})$

Для хорошо разнообразных и совершенно гранулированных портфелей ожидаемое условное выражение потерь на значении общего множителя:

$L | Z = \sum_{i} E A D_{i} \cdot L G D_{i} \cdot Φ_{ϵ} (\frac{Φ_{A}^{- 1} (P D_{i}) - \sqrt{ρ_{i}} Z}{\sqrt{1 - ρ_{i}}})$

Можно затем непосредственно вычислить конкретные процентили распределения потерь с помощью кумулятивной функции распределения общего множителя. Это - кредит VaR, который мы вычисляем в $α$ доверительный уровень:

$c r e d i t V a R (α) = \sum_{i} E A D_{i} \cdot L G D_{i} \cdot Φ_{ϵ} (\frac{Φ_{A}^{- 1} (P D_{i}) - \sqrt{ρ_{i}} Φ_{Z}^{- 1} (1 - α)}{\sqrt{1 - ρ_{i}}})$

Из этого следует, что капитал для данного уровня уверенности, $α$ :

$c a p i t a l (α) = \sum_{i} E A D_{i} \cdot L G D_{i} \cdot [Φ_{ϵ} (\frac{Φ_{A}^{- 1} (P D_{i}) - \sqrt{ρ_{i}} Φ_{Z}^{- 1} (1 - α)}{\sqrt{1 - ρ_{i}}}) - P D_{i}]$

Основной ASRF

Портфель содержит 100 кредитов чувствительные контракты и информация об их воздействии. Это - симулированные данные.

load asrfPortfolio.mat

disp(portfolio(1:5,:))

    ID       EAD           PD        LGD     AssetClass    Sales          Maturity      
    __    __________    _________    ____    __________    _____    ____________________

    1      2.945e+05     0.013644     0.5      "Bank"       NaN     02-Jun-2023 00:00:00
    2     1.3349e+05    0.0017519     0.5      "Bank"       NaN     05-Jul-2021 00:00:00
    3     3.1723e+05      0.01694     0.4      "Bank"       NaN     07-Oct-2018 00:00:00
    4     2.8719e+05     0.013624    0.35      "Bank"       NaN     27-Apr-2022 00:00:00
    5     2.9965e+05     0.013191    0.45      "Bank"       NaN     07-Dec-2022 00:00:00

Корреляции актива ( $ρ$ ) в ASRF модель задают корреляцию между подобными активами. Квадратный корень из этого значения, $\sqrt{ρ}$ , задает корреляцию между скрытой переменной контрагента (A) и системным фактором кредита (Z). Корреляции актива могут быть калиброваны путем наблюдения корреляций на рынке или из исторических данных по умолчанию. Корреляции могут также быть установлены с помощью регулирующих инструкций (см. Базельский раздел Capital Requirements).

Поскольку модель ASRF является быстрой, аналитической формулой, удобно выполнить анализ чувствительности для контрагента путем варьирования параметров воздействия и наблюдения, как капитал и VaR изменяются.

Следующий график показывает чувствительность к корреляции актива и PD. LGD и параметры EAD являются масштабными коэффициентами в формуле ASRF, таким образом, чувствительность является прямой.

% Counterparty ID
id = 1;

% Set default asset correlation to 0.2 as baseline
R = 0.2;

% Compute baseline capital and VaR
[capital0, var0] = asrf(portfolio.PD(id),portfolio.LGD(id),R,'EAD',portfolio.EAD(id));
% Stressed PD by 50%
[capital1, var1] = asrf(portfolio.PD(id) * 1.5,portfolio.LGD(id),R,'EAD',portfolio.EAD(id));
% Stressed Correlation by 50%
[capital2, var2] = asrf(portfolio.PD(id),portfolio.LGD(id),R * 1.5,'EAD',portfolio.EAD(id));

c = categorical({'ASRF Capital','VaR'});
bar(c,[capital0 capital1 capital2; var0 var1 var2]);
legend({'baseline','stressed PD','stressed R'},'Location','northwest')
title(sprintf('ID: %d, Baseline vs. Stressed Scenarios',id));
ylabel('USD ($)');

Базельские потребности в капитале

При вычислении регулятивного капитала Базельские документы имеют дополнительные спецификации модели сверху основной модели ASRF. В частности, Базель II/III задает определенные формулы для вычисления корреляции актива для воздействий в различных классах активов как функция вероятности по умолчанию.

Настраивать вектор корреляций согласно определениям, установленным в Базеле II/III:

R = zeros(height(portfolio),1);

% Compute correlations for corporate, sovereign, and bank exposures
idx = portfolio.AssetClass == "Corporate" |...
    portfolio.AssetClass == "Sovereign" |...
    portfolio.AssetClass == "Bank";

R(idx) = 0.12 * (1-exp(-50*portfolio.PD(idx))) / (1-exp(-50)) +...
    0.24 * (1 - (1-exp(-50*portfolio.PD(idx))) / (1-exp(-50)));

% Compute correlations for small and medium entities
idx = portfolio.AssetClass == "Small Entity" |...
    portfolio.AssetClass == "Medium Entity";

R(idx) = 0.12 * (1-exp(-50*portfolio.PD(idx))) / (1-exp(-50)) +...
    0.24 * (1 - (1-exp(-50*portfolio.PD(idx))) / (1-exp(-50))) -...
    0.04 * (1 - (portfolio.Sales(idx)/1e6 - 5) / 45);

% Compute correlations for unregulated financial institutions
idx = portfolio.AssetClass == "Unregulated Financial";

R(idx) = 1.25 * 0.12 * (1-exp(-50*portfolio.PD(idx))) / (1-exp(-50)) +...
    0.24 * (1 - (1-exp(-50*portfolio.PD(idx))) / (1-exp(-50)));

Найдите основной капитал ASRF с помощью заданных Базелем корреляций актива. Значение по умолчанию для уровня VaR составляет 99,9%.

asrfCapital = asrf(portfolio.PD,portfolio.LGD,R,'EAD',portfolio.EAD);

Кроме того, Базельские документы задают корректировку зрелости, которая будет добавлена к каждому расчету капитала. Здесь мы вычисляем корректировку зрелости и обновляем потребности в капитале.

maturityYears = years(portfolio.Maturity - settle);

b = (0.11852 - 0.05478 * log(portfolio.PD)).^2;
maturityAdj = (1 + (maturityYears - 2.5) .* b)  ./ (1 - 1.5 .* b);

regulatoryCapital = asrfCapital .* maturityAdj;

fprintf('Portfolio Regulatory Capital : $%.2f\n',sum(regulatoryCapital));

Portfolio Regulatory Capital : $2310819.05

Риск взвесил активы (RWA) вычисляется как капитал * 12.5.

RWA = regulatoryCapital * 12.5;

results = table(portfolio.ID,portfolio.AssetClass,RWA,regulatoryCapital,'VariableNames',...
    {'ID','AssetClass','RWA','Capital'});

% Results table
disp(results(1:5,:))

    ID    AssetClass       RWA        Capital
    __    __________    __________    _______

    1       "Bank"      4.7766e+05     38213 
    2       "Bank"           79985    6398.8 
    3       "Bank"      2.6313e+05     21050 
    4       "Bank"      2.9449e+05     23560 
    5       "Bank"      4.1544e+05     33235

Агрегируйте регулятивный капитал классом активов.

assetClasses = unique(results.AssetClass);
assetClassCapital = zeros(numel(assetClasses),1);
for i = 1:numel(assetClasses)
    assetClassCapital(i) = sum(results.Capital(results.AssetClass == assetClasses(i)));
end
pie(assetClassCapital,cellstr(assetClasses))
title('Regulatory Capital by Asset Class');

capitalTable = table(assetClasses, assetClassCapital,'VariableNames',{'AssetClass','Capital'});
disp(capitalTable);

          AssetClass            Capital  
    _______________________    __________

    "Bank"                     3.6894e+05
    "Corporate"                3.5811e+05
    "Medium Entity"            3.1466e+05
    "Small Entity"              1.693e+05
    "Sovereign"                6.8711e+05
    "Unregulated Financial"     4.127e+05

Документация