Степень спектральные оценки плотности Используя БПФ

В этом примере показано, как получить непараметрические оценки степени спектральной плотности (PSD), эквивалентные периодограмме с помощью fft. Примеры показывают вам, как правильно масштабировать выход fft для входных параметров ровной длины, для нормированной частоты и герц, и для одного - и двухсторонние оценки PSD.

Вход ровной длины с частотой дискретизации

Получите периодограмму для сигнала ровной длины, произведенного на уровне 1 кГц с помощью обоих fft и periodogramСравнение результатов.

Создайте сигнал, состоящий из синусоиды на 100 Гц в N (0,1) аддитивный шум. Частота дискретизации составляет 1 кГц. Длина сигнала является 1 000 выборок. Используйте настройки по умолчанию генератора случайных чисел для восстанавливаемых результатов.

rng default
Fs = 1000;
t = 0:1/Fs:1-1/Fs;
x = cos(2*pi*100*t) + randn(size(t));

Получите периодограмму с помощью fft. Сигнал с действительным знаком и имеет даже длину. Поскольку сигнал с действительным знаком, вам только нужны оценки степени для положительных или отрицательных частот. Для того, чтобы сохранить общую степень, умножьте все частоты, которые возникают в обоих наборах — положительных и отрицательных частотах — фактором 2. Нулевая частота (DC) и частота Найквиста не возникает дважды. Постройте результат.

N = length(x);
xdft = fft(x);
xdft = xdft(1:N/2+1);
psdx = (1/(Fs*N)) * abs(xdft).^2;
psdx(2:end-1) = 2*psdx(2:end-1);
freq = 0:Fs/length(x):Fs/2;

plot(freq,10*log10(psdx))
grid on
title('Periodogram Using FFT')
xlabel('Frequency (Hz)')
ylabel('Power/Frequency (dB/Hz)')

Вычислите и постройте периодограмму с помощью periodogram. Покажите, что два результата идентичны.

periodogram(x,rectwin(length(x)),length(x),Fs)

mxerr = max(psdx'-periodogram(x,rectwin(length(x)),length(x),Fs))

mxerr = 3.4694e-18

Введите с нормированной частотой

Используйте fft произвести периодограмму для входа с помощью нормированной частоты. Создайте сигнал, состоящий из синусоиды в N (0,1) аддитивный шум. Синусоида имеет угловую частоту $π / 4$ рад/выборка. Используйте настройки по умолчанию генератора случайных чисел для восстанавливаемых результатов.

rng default
n = 0:999;
x = cos(pi/4*n) + randn(size(n));

N = length(x);
xdft = fft(x);
xdft = xdft(1:N/2+1);
psdx = (1/(2*pi*N)) * abs(xdft).^2;
psdx(2:end-1) = 2*psdx(2:end-1);
freq = 0:(2*pi)/N:pi;

plot(freq/pi,10*log10(psdx))
grid on
title('Periodogram Using FFT')
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)') 
ylabel('Power/Frequency (dB/rad/sample)')

Вычислите и постройте периодограмму с помощью periodogram. Покажите, что два результата идентичны.

periodogram(x,rectwin(length(x)),length(x))

mxerr = max(psdx'-periodogram(x,rectwin(length(x)),length(x)))

mxerr = 1.4211e-14

Вход с комплексным знаком с нормированной частотой

Используйте fft произвести периодограмму для входа с комплексным знаком с нормированной частотой. Сигнал является комплексной экпонентой с угловой частотой $π / 4$ рад/выборка в N с комплексным знаком (0,1) шум. Установите генератор случайных чисел на настройки по умолчанию для восстанавливаемых результатов.

rng default
n = 0:999;
x = exp(1j*pi/4*n) + [1 1j]*randn(2,length(n))/sqrt(2);

Используйте fft получить периодограмму. Поскольку вход с комплексным знаком, получите периодограмму из $[0, 2 π)$ рад/выборка. Постройте результат.

N = length(x);
xdft = fft(x);
psdx = (1/(2*pi*N)) * abs(xdft).^2;
freq = 0:(2*pi)/N:2*pi-(2*pi)/N;

plot(freq/pi,10*log10(psdx))
grid on
title('Periodogram Using FFT')
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)') 
ylabel('Power/Frequency (dB/rad/sample)')

Используйте periodogram получить и построить периодограмму. Сравните оценки PSD.

periodogram(x,rectwin(length(x)),length(x),'twosided')

mxerr = max(psdx'-periodogram(x,rectwin(length(x)),length(x),'twosided'))

mxerr = 2.8422e-14

Документация