Документация

Определение

Экспоненциальный PDF

Фон

Как распределение хи-квадрат, экспоненциальное распределение является особым случаем гамма распределения (полученный установкой a = 1)

где Γ (·) Гамма функция.

Экспоненциальное распределение является особенным из-за своей утилиты в моделировании событий, которые происходят случайным образом в зависимости от времени. Область главного приложения находится в исследованиях времени жизни.

Параметры

Предположим, что вы - лампочки стресс-тестирования и данные о сборе по их времени жизни. Вы принимаете, что это время жизни следует за экспоненциальным распределением. Вы хотите знать, сколько времени можно ожидать, что средняя лампочка прослужит. Оценка параметра является процессом определения параметров экспоненциального распределения, которые соответствуют этим данным лучше всего в некотором смысле.

Один популярный критерий совершенства должен максимизировать функцию правдоподобия. Вероятность имеет ту же форму как экспоненциальный PDF выше. Но для PDF, параметры являются известными константами, и переменная является x. Функция правдоподобия инвертирует роли переменных. Здесь, демонстрационные значения (x's) уже наблюдаются. Таким образом, они - фиксированные постоянные. Переменные являются неизвестными параметрами. MLE включает вычисление значений параметров, которые дают самую высокую вероятность, учитывая определенный набор данных.

Функциональный expfit возвращает MLEs и доверительные интервалы для параметров экспоненциального распределения. Вот пример с помощью случайных чисел от экспоненциального распределения с µ = 700.

lifetimes = exprnd(700,100,1);
[muhat, muci] = expfit(lifetimes)

muhat =

  672.8207

muci =

  547.4338
  810.9437

MLE для параметра µ 672, по сравнению с истинным значением 700. 95%-й доверительный интервал для µ идет от 547 до 811, который включает истинное значение.

В жизненных тестах вы не знаете истинного значения µ, таким образом, хорошо иметь доверительный интервал на параметре, чтобы дать область значений вероятных значений.

Примеры

l = 10:10:60;
lpd = l+0.1;
deltap = (expcdf(lpd,50)-expcdf(l,50))./(1-expcdf(l,50))

deltap =
    0.0020    0.0020    0.0020    0.0020    0.0020    0.0020

x = 0:0.1:10;
y = exppdf(x,2);

figure;
plot(x,y)