Отношение между матрицами формулы и проекта

Формула

В общем случае формула для спецификации модели является вектором символов или скаляром строки формы 'y ~ terms'. Для линейных моделей смешанных эффектов эта формула находится в форме 'y ~ fixed + (random1|grouping1) + ... + (randomR|groupingR)', где fixed и random содержите фиксированные эффекты и условия случайных эффектов.

Предположим таблица tbl содержит следующее:

Переменная отклика, y
Переменные предикторы, _Xj, который может быть непрерывным или сгруппированные переменные
Сгруппированные переменные, _g1, _g2..., _gR,

где сгруппированные переменные в _Xj и _gr может быть категориальным, логическим, символьные массивы, строковые массивы или массивы ячеек из символьных векторов.

Затем в формуле формы, _{'y ~ fixed + (random1|g1) + ... + (randomR|gR)'}, термин fixed соответствует спецификации проекта фиксированных эффектов матричный X, random₁ спецификация проекта случайных эффектов матричный Z₁ соответствие сгруппированной переменной g₁, и так же random_R является спецификацией проекта случайных эффектов матричный Z_R, соответствующий сгруппированной переменной g_R. Можно выразить fixed и random условия с помощью обозначения Уилкинсона.

Обозначение Уилкинсона описывает факторы, существующие в моделях. Обозначение относится к факторам, существующим в моделях, не ко множителям (коэффициенты) тех факторов.

Обозначение Уилкинсона	Включает стандартное обозначение
1	Постоянный (прерывание) термин
`X^k`, где `k` положительное целое число	`X^x2`..., `^Xk`
`X1 + X2`	`X1x2`
`X1*X2`	`X1x2` , `X1.*X2 (elementwise multiplication of X1 and X2)`
`X1:X2`	`X1.*X2` только
`- X2`	Не включайте `X2`
`X1*X2 + X3`	`X1x2` , `X3x1, x2`
`X1 + X2 + X3 + X1:X2`	`X1x2` , `X3x1, x2`
`X1X2X3 - X1:X2:X3`	`X1x2` , `X3x1, x2` , `X1X3`, `X2X3`
`X1*(X2 + X3)`	`X1x2` , `X3x1, x2` , `X1*X3`

Обозначение Statistics and Machine Learning Toolbox™ всегда включает постоянный термин, если вы явным образом не удаляете термин с помощью -1. Вот некоторые примеры для линейной спецификации модели смешанных эффектов.

Примеры:

Формула	Описание
`'y ~ X1 + X2'`	Фиксированные эффекты для прерывания, `X1` и `X2`. Это эквивалентно `'y ~ 1 + X1 + X2'`.
`'y ~ -1 + X1 + X2'`	Никакое прерывание и зафиксированные эффекты для `X1` и `X2`. Неявный термин прерывания подавлен включением `-1`.
`'y ~ 1 + (1 \| g1)'`	Фиксированные эффекты для прерывания плюс случайный эффект для прерывания для каждого уровня сгруппированной переменной `g1`.
`'y ~ X1 + (1 \| g1)'`	Случайная модель прерывания с фиксированным наклоном.
`'y ~ X1 + (X1 \| g1)'`	Случайное прерывание и наклон, с возможной корреляцией между ними. Это эквивалентно `'y ~ 1 + X1 + (1 + X1\|g1)'`.
`'y ~ X1 + (1 \| g1) + (-1 + X1 \| g1)'`	Независимые случайные эффекты называют для прерывания и наклона.
`'y ~ 1 + (1 \| g1) + (1 \| g2) + (1 \| g1:g2)'`	Случайная модель прерывания с независимыми основными эффектами для `g1` и `g2`, плюс независимый эффект взаимодействия.

Спроектируйте матрицы для фиксированных и случайных эффектов

fitlme преобразует выражения в fixed и random части (не сгруппированные переменные) формулы в матрицы проекта можно следующим образом:

Каждый термин в формуле добавляет один или несколько столбцов в соответствующую матрицу проекта.
Термин, содержащий одну непрерывную переменную, добавляет один столбец в матрицу проекта.
С фиксированным сроком, содержащее категориальную переменную X с k уровни добавляет (k – 1) фиктивные переменные к матрице проекта.
Например, если переменная Supplier представляет трех различных поставщиков, производитель получает части из, т.е. категориальная переменная с тремя уровнями, и из шести пакетов частей, первые два пакета прибывают от поставщика 1 (уровень 1), вторые два пакета прибывают от поставщика 2 (уровень 2), и последние два пакета прибывают от поставщика 3 (уровень 3), такой как
```
Supplier =

     1
     1
     2
     2
     3
     3 
```
Затем добавление Supplier к формуле как фиксированные эффекты или термин случайных эффектов добавляет следующие две фиктивных переменные в соответствующую матрицу проекта, с помощью 'reference' контраст:
```
 0     0
 0     0
 1     0
 1     0
 0     1
 0     1
```
Для получения дополнительной информации о фиктивных переменных смотрите Фиктивные Переменные. Для других контрастных опций смотрите 'DummyVarCoding' аргумент пары "имя-значение" fitlme.
Если X1 и X2 непрерывные переменные, множитель X1:X2 добавляет один столбец, полученный поэлементным умножением X1 и X2 к матрице проекта.
Если X1 непрерывно и X2 является категориальным с уровнями k, множитель X1:X2 умножает поэлементный X1 с (k – 1) фиктивные переменные, представляющие X2, и добавляет их (k – 1) столбцы к матрице проекта.
Например, если Drug количество препарата, данного пациентам, непрерывному лечению и Time три отличных момента времени, когда медицинские меры приняты, категориальная переменная с тремя уровнями, и из девяти наблюдений, первые три наблюдаются в моменте времени 1, вторые три наблюдаются в моменте времени 2, и последние три наблюдаются в моменте времени 3 так, чтобы
```
[Drug Time] =

    0.1000    1.0000
    0.2000    1.0000
    0.5000    2.0000
    0.6000    2.0000
    0.3000    3.0000
    0.8000    3.0000
```
Затем множитель Drug:Time добавляют следующие две переменные к матрице проекта:
```
     0         0
     0         0
0.5000         0
0.6000         0
     0    0.3000
     0    0.8000
```
Если X1 и X2 категориальные переменные с k и уровнями m соответственно, множитель X1:X2 добавляет (k – 1) * (m – 1) фиктивные переменные к матрице проекта, сформированной путем взятия поэлементного продукта каждой фиктивной переменной, представляющей X1 с каждой фиктивной переменной, представляющей X2.
Например, в эксперименте, чтобы определить удар типа зерна и метода сования на урожае, предположите, что существует три типа Corn и два типа Method можно следующим образом:
```
    1    oil
    1    oil
    1    air
    1    air
    2    oil
    2    oil
    2    air
    2    air
    3    oil
    3    oil
    3    air
    3    air
```
Затем период взаимодействия Corn:Method добавляет следующее к матрице проекта:
```
     0     0
     0     0
     0     0
     0     0
     1     0
     1     0
     0     0
     0     0
     0     1
     0     1
     0     0
     0     0
```
Термин X1*X2 добавляет необходимое количество столбцов для X1x2 , и X1:X2 к матрице проекта.
Термин X1^2 добавляет необходимое количество столбцов для X1 и X1:X1 к матрице проекта.
Символ 1 (один) в формуле обозначает столбец всей 1 с. По умолчанию столбец 1 с включен в матрицу проекта. Чтобы исключить столбец из единиц из матрицы проекта, необходимо явным образом задать –1 как термин в выражении.

Группировка переменных

fitlme обрабатывает сгруппированные переменные в (.|group) часть формулы можно следующим образом:

Если сгруппированная переменная имеет уровни k, то фиктивные переменные k представляют эту группировку.
Например, предположите District категориальная сгруппированная переменная с тремя уровнями, показывая три типа районов, и из шести школ, первые два находятся в районе 1, вторые два находятся в районе 2, и последние два находятся в районе 3, так, чтобы
```
District =

     1
     1
     2
     2
     3
     3
```
Затем фиктивные переменные, которые представляют эту группировку:
```
  1     0     0
  1     0     0
  0     1     0
  0     1     0
  0     0     1
  0     0     1
```
Если X1 непрерывная переменная случайных эффектов и X2 сгруппированная переменная с уровнями k, затем случайный термин (X1 – 1|X2) умножает поэлементный X1 с фиктивными переменными k, представляющими X2 и добавляет, что эти столбцы k к случайным эффектам проектируют матрицу.
Например, предположите Score непрерывная переменная, показывающая множество студентов из математического экзамена в школе и Class категориальная переменная с тремя уровнями, показывая три различных класса в школе. Кроме того, предположите из девяти наблюдений сначала три, соответствуют множеству студентов в первом классе, вторые три соответствуют множеству студентов во втором классе, и последние три соответствуют множеству студентов в третьем классе, такой как
```
[Score Class] =

    78.0000    1.0000
    68.0000    1.0000
    81.0000    2.0000
    53.0000    2.0000
    85.0000    3.0000
    72.0000    3.0000
```
Затем случайный термин (Score – 1|Class) добавляет, что следующие три столбца к случайным эффектам проектируют матрицу:
```
 78.0000          0          0
 68.0000          0          0
       0    81.0000          0
       0    53.0000          0
       0          0    85.0000
       0          0    72.0000    
```
Если X1 непрерывный переменный предиктор и X2 и X3 сгруппированные переменные с k и уровнями m соответственно, термин (X1|X2:X3) представляет эту группировку X1 с k *m фиктивные переменные, сформированные путем взятия поэлементного продукта каждой фиктивной переменной, представляющей X2 с каждой фиктивной переменной, представляющей X3.
Например, предположите Treatment непрерывный переменный предиктор, и существует три уровня Block и два уровня Plot вложенный в блоке можно следующим образом:
```
   0.1000    1    a
   0.2000    1    b 
   0.5000    2    a  
   0.6000    2    b 
   0.3000    3    a 
   0.8000    3    b  
```
Затем случайный термин (Treatment – 1|Block:Plot) добавляет, что следующие к случайным эффектам проектируют матрицу:
```
 0.1000         0         0         0         0         0
      0    0.2000         0         0         0         0
      0         0    0.5000         0         0         0
      0         0         0    0.6000         0         0
      0         0         0         0    0.3000         0
      0         0         0         0         0    0.8000
```

Документация