Документация

Определение

PDF Weibull положителен только для положительных значений x и является нулем в противном случае. Для строго положительных значений параметра формы b и масштабный коэффициент a, плотность

Фон

Waloddi Weibull предложил распределение, которое носит его имя как соответствующий аналитический инструмент для моделирования прочности на разрыв материалов. Текущее использование также включает надежность и пожизненное моделирование. Распределение Weibull более гибко, чем экспоненциал в этих целях.

Чтобы видеть почему, рассмотрите функцию показателя риска (мгновенная интенсивность отказов). Если f (t) и F (t) является PDF и cdf распределения, то показатель риска

Замена PDF и cdf экспоненциального распределения для f (t) и F (t) выше урожаев константа. Пример ниже показов, что показатель риска для распределения Weibull может варьироваться.

Постройте функцию опасности распределения Weibull

Экспоненциальное распределение имеет постоянную функцию опасности, которая обычно не имеет место для распределения Weibull. График показывает функцию опасности для экспоненциала (пунктирная линия) и Weibull (сплошная линия) распределения, имеющие ту же среднюю жизнь. Показатель риска Weibull здесь увеличивается с возрастом (разумное предположение).

t = 0:0.1:4.5;
h1 = exppdf(t,0.8862)./(1-expcdf(t,0.8862));
h2 = wblpdf(t,1,2)./(1-wblcdf(t,1,2));
plot(t,h1,'--',t,h2,'-')

Оцените параметры распределения Weibull

Предположим, что вы хотите смоделировать предел прочности тонкой нити с помощью распределения Weibull. Функциональный wblfit дает оценки наибольшего правдоподобия и доверительные интервалы для параметров Weibull.

rng('default');  % For reproducibility
strength = wblrnd(0.5,2,100,1);  % Simulated strengths
[p,ci] = wblfit(strength)

p = 1×2

    0.4768    1.9622

ci = 2×2

    0.4291    1.6821
    0.5298    2.2890

95%-й доверительный интервал по умолчанию для каждого параметра содержит истинное значение.

Оцените параметры распределения Weibull с тремя параметрами

В этом примере показано, как оценить параметры распределения Weibull с тремя параметрами при помощи пользовательской функции плотности вероятности.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ использует 2D параметр распределение Weibull параметром формы $$a$$ и масштабный коэффициент $$b$$. Распределение Weibull может взять еще один параметр, параметр положения $$c$$. Функция плотности вероятности становится

где $$a$$ и $$b$$ положительные значения, и $$c$$ действительное значение.

Сгенерируйте выборочные данные размера 1000 от распределения Weibull с тремя параметрами параметром формы 1, масштабный коэффициент 1, и параметр положения 10.

rng('default') % For reproducibility
data = wblrnd(1,1,[1000,1])+10;

Задайте функцию плотности вероятности для распределения Weibull с тремя параметрами.

custpdf = @(x,a,b,c) (x>c).*(b/a).*(((x-c)/a).^(b-1)).*exp(-((x-c)/a).^b);

Функция плотности вероятности Weibull положительна только для $$x>c$$. Это ограничение также подразумевает что параметр положения $$c$$ меньше, чем минимум выборочных данных. Включайте нижние и верхние границы параметров при помощи аргументов пары "имя-значение" 'LowerBound' и 'UpperBound', соответственно.

opt = statset('MaxIter',1e5,'MaxFunEvals',1e5,'FunValCheck','off');
phat = mle(data,'pdf',custpdf,'start',[5 5 5],'Options',opt,...
    'LowerBound',[0 0 -Inf],'UpperBound',[Inf Inf min(data)])

phat = 1×3

    1.0258    1.0618   10.0004

Если mle не сходится с опциями статистики по умолчанию, можно изменить их при помощи аргумента пары "имя-значение" 'Options'. Создайте структуру опций статистики opt при помощи функционального statset. Затем используйте opt как значение 'Options'.

Опция opt включает следующее:

Для распределения с областью, которая имеет нулевую плотность вероятности, mle может попробовать некоторые параметры, которые имеют нулевую плотность, и она не оценит параметры. Чтобы избежать этой проблемы, можно выключить опцию, которая проверяет на недопустимые значения функции при помощи 'FunValCheck','off'.

Если масштабный коэффициент $$b$$ меньше, чем 1, плотность вероятности бесконечности подходов распределения Weibull как $$x$$ переходит в $$c$$, где $$c$$ параметр положения. Максимум функции правдоподобия бесконечен. mle может найти удовлетворительные оценки в некоторых случаях, но глобальный максимум является вырожденным когда $$b<1$$.