Решите разностные уравнения при помощи Z-преобразований в Symbolic Math Toolbox™ с этим рабочим процессом. Для простых примеров на Z-преобразовании смотрите ztrans
и iztrans
.
Z-преобразование функционального f (n) задано как
Символьные рабочие процессы сохраняют вычисления в естественной символьной форме вместо числовой формы. Этот подход помогает вам изучить свойства своего решения и использовать точные символьные значения. Вы заменяете числами вместо символьных переменных только, когда вы требуете числового результата, или вы не можете продолжить символически. Для получения дополнительной информации смотрите, Выбирают Symbolic or Numeric Arithmetic. Как правило, шаги:
Объявите уравнения.
Решите уравнения.
Замените значениями.
Постройте результаты.
Анализ результатов.
Можно использовать Z-преобразование, чтобы решить разностные уравнения, такие как известная "проблема" Роста Кролика. Если пара кроликов назревает за один год, и затем производит другую пару кроликов каждый год, популяция кроликов p (n) в год, n описан этим разностным уравнением.
p (n +2) = p (n +1) + p (n).
Объявите уравнение как выражение, принимающее, что правой стороной является 0
. Поскольку n
представляет годы, примите тот n
положительное целое число. Это предположение упрощает результаты.
syms p(n) z assume(n>=0 & in(n,'integer')) f = p(n+2) - p(n+1) - p(n)
f = p(n + 2) - p(n + 1) - p(n)
Найдите Z-преобразование уравнения.
fZT = ztrans(f,n,z)
fZT = z*p(0) - z*ztrans(p(n), n, z) - z*p(1) + z^2*ztrans(p(n), n, z) - z^2*p(0) - ztrans(p(n), n, z)
Функциональный solve
решает только для символьных переменных. Поэтому использовать solve
, сначала замените ztrans(p(n),n,z)
с переменными pZT
.
syms pZT fZT = subs(fZT,ztrans(p(n),n,z),pZT)
fZT = z*p(0) - pZT - z*p(1) - pZT*z - z^2*p(0) + pZT*z^2
Решите для pZT
.
pZT = solve(fZT,pZT)
pZT = -(z*p(1) - z*p(0) + z^2*p(0))/(- z^2 + z + 1)
Вычислите p (n) путем вычисления обратного Z-преобразования pZT
. Упростите результат.
pSol = iztrans(pZT,z,n); pSol = simplify(pSol)
pSol = 2*(-1)^(n/2)*cos(n*(pi/2 + asinh(1/2)*1i))*p(1) + ... (2^(2 - n)*5^(1/2)*(5^(1/2) + 1)^(n - 1)*(p(0)/2 - p(1)))/... 5 - (2*2^(1 - n)*5^(1/2)*(1 - 5^(1/2))^(n - 1)*(p(0)/2 - p(1)))/5
Чтобы построить результат, сначала замените значениями начальных условий. Позвольте p(0)
и p(1)
будьте 1
и 2
, соответственно.
pSol = subs(pSol,[p(0) p(1)],[1 2])
pSol = 4*(-1)^(n/2)*cos(n*(pi/2 + asinh(1/2)*1i)) - (3*2^(2 - n)*5^(1/2)*(5^(1/2) + 1)^(n - 1))/10 + (3*2^(1 - n)*5^(1/2)*(1 - 5^(1/2))^(n - 1))/5
Покажите рост в популяции кроликов в зависимости от времени путем графического вывода pSol
.
nValues = 1:10; pSolValues = subs(pSol,n,nValues); pSolValues = double(pSolValues); pSolValues = real(pSolValues); stem(nValues,pSolValues) title('Rabbit Population') xlabel('Years (n)') ylabel('Population p(n)') grid on
График показывает, что решение, кажется, увеличивается экспоненциально. Однако, потому что решение pSol
содержит много условий, находя условия, которые производят это поведение, требует анализа.
Поскольку все функции в pSol
может быть выражен в терминах exp
, перепишите pSol
к exp
. Упростите результат при помощи simplify
с 80
дополнительные шаги упрощения. Теперь можно анализировать pSol
.
pSol = rewrite(pSol,'exp'); pSol = simplify(pSol,'Steps',80)
pSol = (2*2^n)/(- 5^(1/2) - 1)^n - (3*5^(1/2)*(1/2 - 5^(1/2)/2)^n)/10 + (3*5^(1/2)*(5^(1/2)/2 + 1/2)^n)/10 - (3*(1/2 - 5^(1/2)/2)^n)/2 + (5^(1/2)/2 + 1/2)^n/2
Визуально смотрите pSol
. Заметьте тот pSol
сумма условий. Каждый термин является отношением, которое может увеличиться или уменьшиться как n
увеличения. Для каждого термина можно подтвердить эту гипотезу несколькими способами:
Проверяйте если предел в n = Inf
переходит к 0
или Inf
при помощи limit
.
Постройте термин для увеличения n
и проверяйте поведение.
Вычислите значение в большом значении n
.
Для простоты используйте третий подход. Вычислите условия в n = 100
, и затем проверьте подход. Во-первых, найдите отдельные условия при помощи children
, замените n
, и преобразуйте, чтобы удвоиться.
pSolTerms = children(pSol); pSolTermsDbl = subs(pSolTerms,n,100); pSolTermsDbl = double(pSolTermsDbl)
pSolTermsDbl = 1.0e+20 * 0.0000 -0.0000 5.3134 -0.0000 3.9604
Результат показывает, что некоторыми условиями является 0
в то время как другие условия имеют большую величину. Выдвиньте гипотезу, что условия большой величины производят экспоненциальное поведение. Аппроксимированный pSol
с этими условиями.
idx = abs(pSolTermsDbl)>1; % use arbitrary cutoff pApprox = pSolTerms(idx); pApprox = sum(pApprox)
pApprox = (3*5^(1/2)*(5^(1/2)/2 + 1/2)^n)/10 + (5^(1/2)/2 + 1/2)^n/2
Проверьте гипотезу путем графического вывода ошибки приближения между pSol
и pApprox
. Как ожидалось ошибка переходит к 0
как n
увеличения. Этот результат демонстрирует, как символьные вычисления помогают вам анализировать свою проблему.
Perror = pSol - pApprox; nValues = 1:30; Perror = subs(Perror,n,nValues); stem(nValues,Perror) xlabel('Years (n)') ylabel('Error (pSol - pApprox)') title('Error in Approximation')
[1] Эндрюс, L.C., Shivamoggi, B.K., интеграл преобразовывает для инженеров и прикладных математиков, издательства Макмиллана, Нью-Йорк, 1986
[2] Crandall, R.E., проекты в научных расчетах, издателях Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1994
[3] Странг, G., введение в прикладную математику, Wellesley-Кембриджское нажатие, Веллесли, MA, 1986