Модули в вычислениях физики

В этом примере показано, как работать с модулями в вычислениях физики. Вычислите терминальную скорость падающего парашютиста-десантника и в SI и в имперских модулях. Решите движение парашютиста-десантника, учтя гравитационную силу и силу сопротивления.

Введение

Вообразите парашютиста-десантника, выпрыгивающего из самолета. Примите, что существует только две силы, действующие на парашютиста-десантника: гравитационная сила и противостоящая сила сопротивления от парашюта. Сила сопротивления пропорциональна скорости, в квадрате из парашютиста-десантника.

Сетевая сила, действующая на парашютиста-десантника, может быть выражена как

$масса \cdot ускорение = перетащить сила - гравитационный сила$ ,

$m \frac{\partial}{\partial t} v (t) = c_{d} {v (t)}^{2} - m g$ ,

где

$m$ масса парашютиста-десантника
g является гравитационным ускорением
$v (t)$ скорость парашютиста-десантника
$c_{d}$ постоянное перетаскивание

Задайте и решите уравнение движения

Определите дифференциальное уравнение, описывающее уравнение движения.

syms g m c_d
syms v(t)
eq = m*diff(v(t),t) + m*g == c_d*v(t)^2

eq = 
 $m \frac{\partial}{\partial t} v (t) + g m = c_{d} {v (t)}^{2}$

Примите, что парашют сразу открывается в $t = 0$ так, чтобы уравнение eq допустимо для всех значений $t \geq 0$ . Решите дифференциальное уравнение аналитически с помощью dsolve с начальным условием $v (0) = 0$ . Решение представляет скорость парашютиста-десантника как функция времени.

velocity = simplify(dsolve(eq, v(0) == 0))

velocity = 
 $- \frac{\sqrt{g} \sqrt{m} \tanh (\frac{\sqrt{c_{d}} \sqrt{g} t}{\sqrt{m}})}{\sqrt{c_{d}}}$

Найдите модуль перетаскивания постоянным

Найдите единицу СИ перетаскивания постоянной $c_{d}$ .

Единицей СИ силы является Ньютон $(N)$ . В терминах основных единиц Ньютон $(\frac{kg \cdot m}{s^{2}})$ . Поскольку они эквивалентны, у них есть модульный коэффициент преобразования 1.

u = symunit;
unitConversionFactor(u.N, u.kg*u.m/u.s^2)

ans =  $1$

Сила сопротивления $c_{d} {v (t)}^{2}$ должен иметь тот же модуль в Ньютоне $(N)$ как гравитационная сила $m g$ . Используя размерный анализ, решите для модуля $c_{d}$ .

syms drag_units_SI
drag_units_SI = simplify(solve(drag_units_SI * (u.m / u.s)^2 == u.N))

drag_units_SI = 
 $1 \frac{kg "килограмм - физическая единица измерения массы".}{m "метр - физическая единица измерения длины".}$

Оцените терминальную скорость

Опишите движение парашютиста-десантника путем определения следующих значений.

Масса парашютиста-десантника $m = 70 kg$
Гравитационное ускорение $g = 9 . 81 m / s^{2}$
Коэффициент сопротивления $c_{d} = 40 kg / m$

Замените этими значениями в скоростное уравнение и упростите результат.

vel_SI = subs(velocity,[g,m,c_d],[9.81*u.m/u.s^2, 70*u.kg, 40*drag_units_SI])

vel_SI = 
 $- \frac{\tanh (\frac{t \sqrt{40 \frac{kg "килограмм - физическая единица измерения массы".}{m "метр - физическая единица измерения длины".}} \sqrt{\frac{981}{100} \frac{m "метр - физическая единица измерения длины".}{{s "второй - физическая единица измерения времени".}^{2}}}}{\sqrt{70 kg "килограмм - физическая единица измерения массы".}}) \sqrt{70 kg "килограмм - физическая единица измерения массы".} \sqrt{\frac{981}{100} \frac{m "метр - физическая единица измерения длины".}{{s "второй - физическая единица измерения времени".}^{2}}}}{\sqrt{40 \frac{kg "килограмм - физическая единица измерения массы".}{m "метр - физическая единица измерения длины".}}}$

vel_SI = simplify(vel_SI)

vel_SI = 
 $- \frac{3 \sqrt{763} \tanh (\frac{3 \sqrt{763} t}{35} \frac{1}{s "второй - физическая единица измерения времени".})}{20} \frac{m "метр - физическая единица измерения длины".}{s "второй - физическая единица измерения времени".}$

Вычислите числовое приближение скорости к 3 значительным цифрам.

digits(3)
vel_SI = vpa(vel_SI)

vel_SI = 
 $- 4.14 \tanh (2.37 t \frac{1}{s "второй - физическая единица измерения времени".}) \frac{m "метр - физическая единица измерения длины".}{s "второй - физическая единица измерения времени".}$

Парашютист-десантник приближается к постоянной скорости, когда гравитационная сила сбалансирована силой сопротивления. Это называется терминальной скоростью, и происходит, когда сила сопротивления от парашюта уравновешивает гравитационную силу (нет никакого дальнейшего ускорения). Найдите терминальную скорость путем взятия предела $t ⟶ \infty$ .

vel_term_SI = limit(vel_SI, t, Inf)

vel_term_SI = 
 $- 4.14 \frac{m "метр - физическая единица измерения длины".}{s "второй - физическая единица измерения времени".}$

Преобразуйте скорость в имперские модули

Наконец, преобразуйте функцию скорости от единиц СИ до имперских модулей.

vel_Imperial = rewrite(vel_SI,u.ft)

vel_Imperial = 
 $- 13.6 \tanh (2.37 t \frac{1}{s "второй - физическая единица измерения времени".}) \frac{ft "нога - физическая единица измерения длины".}{s "второй - физическая единица измерения времени".}$

Преобразуйте терминальную скорость.

vel_term_Imperial = rewrite(vel_term_SI,u.ft)

vel_term_Imperial = 
 $- 13.6 \frac{ft "нога - физическая единица измерения длины".}{s "второй - физическая единица измерения времени".}$

Стройте скорость в зависимости от времени

Чтобы построить скорость как функцию времени, выразите время t в секундах и замене t T s, где T безразмерная символьная переменная.

syms T
vel_SI = subs(vel_SI, t, T*u.s)

vel_SI = 
 $- 4.14 \tanh (2.37 T) \frac{m "метр - физическая единица измерения длины".}{s "второй - физическая единица измерения времени".}$

vel_Imperial = rewrite(vel_SI, u.ft)

vel_Imperial = 
 $- 13.6 \tanh (2.37 T) \frac{ft "нога - физическая единица измерения длины".}{s "второй - физическая единица измерения времени".}$

Разделите выражение от модулей при помощи separateUnits. Постройте выражение с помощью fplot. Преобразуйте единицы к строкам для использования в качестве использования меток графика symunit2str.

[data_SI, units_SI] = separateUnits(vel_SI);
[data_Imperial, units_Imperial] = separateUnits(vel_Imperial);

Скорость парашютиста-десантника приближается к устойчивому состоянию когда $t > 1$ . Покажите, как скорость приближается к терминальной скорости путем графического вывода скорости в области значений $0 \leq T \leq 2$ .

subplot(1,2,1)
fplot(data_SI,[0 2])
title('Velocity in SI Units')
xlabel('Time in s')
ylabel(['Velocity in ' symunit2str(units_SI)])
subplot(1,2,2)
fplot(data_Imperial,[0 2])
title('Velocity in Imperial Units')
xlabel('Time in s')
ylabel(['Velocity in ' symunit2str(units_Imperial)])

Документация