Расчет символьной матрицы
В этом примере показано, как выполнить простые матричные расчеты с помощью Symbolic Math Toolbox™.
Сгенерируйте возможно знакомую тестовую матрицу, Гильбертову матрицу 5 на 5.
H =
Определитель очень мал.
Элементы инверсии являются целыми числами.
X =
Проверьте, что инверсия правильна.
I =
Найдите характеристический полином.
p =
Попытайтесь учесть характеристический полином.
ans =
Результат показывает, что характеристический полином не может быть учтен по рациональным числам.
Вычислите 50 цифр числовые приближения к собственным значениям.
e =
Создайте обобщенную Гильбертову матрицу, включающую свободную переменную, .
H =
Замена получает исходную Гильбертову матрицу.
ans =
Обратная величина определителя является полиномом в .
d =
d =
Элементы инверсии являются также полиномами в .
X =
Замена генерирует Гильбертову инверсию.
X =
X = 5×5
25 -300 1050 -1400 630
-300 4800 -18900 26880 -12600
1050 -18900 79380 -117600 56700
-1400 26880 -117600 179200 -88200
630 -12600 56700 -88200 44100
Исследуйте различный пример.
A =
Эта матрица является "нильпотентной". Это - пятая степень, нулевая матрица.
ans =
Поскольку эта матрица является нильпотентной, ее характеристический полином очень прост.
Необходимо теперь смочь вычислить матричные собственные значения в голове. Они - нули уравнения lambda^5 = 0.
Символьный расчет может найти собственные значения точно.
Числовой расчет включает ошибку округления и находит нули уравнения, которое является чем-то как lambda^5 = eps*norm (A), Таким образом, вычисленные собственные значения являются примерно lambda = (eps*norm (A)) ^ (1/5), Вот собственные значения, вычисленные Символьным Тулбоксом с помощью 16 арифметик плавающей точки цифры. Не очевидно, что они должны все быть нулем.
lambda =
Эта матрица является также "дефектной". Это не похоже на диагональную матрицу. Его Жорданова каноническая форма не является диагональной.
J =
Матричный экспоненциал, expm (t*A), обычно выражается в терминах скалярных экспоненциалов, включающих собственные значения, exp (lambda (i) *t). Но для этой матрицы, элементы expm (t*A) являются всеми полиномами в t.
E =
Между прочим, функция "exp" вычисляет поэлементно экспоненциалы.
X =