Подтвердите модель Simulink Используя Symbolic Math Toolbox

В этом примере показано, как смоделировать прыгающий мяч, который является классической гибридной динамической системой. Эта модель включает и непрерывную динамику и дискретные переходы. Это использует Symbolic Math Toolbox, чтобы помочь объяснить часть теории позади решения ОДУ в Модели Simulink® Прыгающего мяча.

Предположения

Шар оживляется без угла
Нет никаких, перетаскивают
Высота во время t=0 составляет 10 м
Выданный с вверх скоростью 15 м/с

Деривация

Коэффициент восстановления задан как

$C_{r} = v_{b} - v_{a} / u_{a} - u_{b}$

где v является скоростью объекта перед ударом, и u является скоростью после.

Мы разделяем дифференциальное уравнение второго порядка

$\frac{d^{2} h}{d t^{2}} = - g$

$\frac{d h}{d t} = v$ дискретизированный как $\frac{h (t + Δ t) - h (t)}{Δ t} = v (t)$

$\frac{d v}{d t} = - g$ дискретизированный как $\frac{v (t + Δ t) - v (t)}{Δ t} = - g$

Мы будем использовать основное 1-е численное интегрирование порядка с помощью прямого Эйлера.

$h (t + Δ t) = h (t) + v (t) Δ t$

$v (t + Δ t) = v (t) - g Δ t$

Решите задачу аналитически

Используя Symbolic Math Toolbox, мы можем приблизиться к проблеме аналитически. Это позволяет нам решать определенные задачи более легко, такие как определение точно, когда мяч сначала попадает в землю (ниже).

Объявите наши символьные переменные.

syms g t H(t) h_0 v_0

Разделите дифференциальное уравнение второго порядка $\frac{d^{2} h}{d t^{2}} = - g$ в $\frac{d h}{d t} = v$ и $\frac{d v}{d t} = - g$ .

Dh = diff(H);
D2h = diff(H, 2) == g

D2h(t) = 
 $\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} H (t) = g$

Решите ОДУ с помощью dsolve:

eqn = dsolve(D2h, H(0) == h_0, Dh(0) == v_0)

eqn = 
 $\frac{g t^{2}}{2} + v_{0} t + h_{0}$

Параметрически исследуйте параболический профиль движения с помощью subs:

eqn = subs(eqn, [h_0, v_0, g], [10, 15, -9.81])

eqn = 
 $- \frac{981 t^{2}}{200} + 15 t + 10$

Найдите время, в которое мяч попадает в землю путем решения для нуля:

assume(t > 0)
tHit = solve(eqn == 0)

tHit = 
 $\frac{20 \sqrt{5} \sqrt{26}}{109} + \frac{500}{327}$

Визуализируйте решение

fplot(eqn,[0 10])
ylim([0 25])

Отформатируйте свою точную арифметику точности переменной использования результатов с vpa:

disp(['The ball with an initial height of 10m and velocity of 15m/s will hit the ground at ' char(vpa(tHit, 4)) ' seconds.'])

The ball with an initial height of 10m and velocity of 15m/s will hit the ground at 3.621 seconds.

Решите задачу численно

Параметры симуляции Setup

Свойства шара

c_bounce = .9;        % Bouncing's coefficient of restitution; perfect restitution would be 1

Свойства симуляции

gravity  = 9.8;       % Gravity's acceleration (m/s)
height_0 = 10;        % Initial height at time t=0 (m)
velocity_0=15;        % Initial velocity at time t=0 (m/s)

Объявление такта симуляции

dt = 0.05;            % Animation timestep (s)
t_final = 25;         % Simulate period (s)
t = 0:dt:t_final;     % Timespan
N = length(t);        % Number of iterations

Инициализируйте количества симуляции

h=[];                 % Height of the ball as a function of time (m)
v=[];                 % Velocity of the ball (m/sec) as a function of time (m/s)
h(1)=height_0;
v(1)=velocity_0;

Симулируйте прыгающий мяч (мы будем использовать основное 1-е численное интегрирование порядка с помощью прямого Эйлера):

for i=1:N-1
       
    v(i+1)=v(i)-gravity*dt;
    h(i+1)=h(i)+v(i)*dt;
    
    % When the ball bounces (the height is less than 0), 
    % reverse the velocity and recalculate the position.
    % Using the coefficient of restitution
    if h(i+1) < 0
        
       v(i)=-v(i)*c_bounce;
       v(i+1)=v(i)-gravity*dt;
       h(i+1)=0+v(i)*dt;

    end
    
end

Визуализируйте и подтвердите симуляцию

plot(t,h,'o')
hold on 
fplot(eqn,[0 10])
title('Height over time')
ylim([0 25])
hold off

plot(t,v)
title('Velocity over time')

Подтвердите численные данные с аналитикой

Сравните свои аналитические результаты с вашими числовыми результатами.

Как напоминание время удара было:

disp(['The ball with an initial height of 10m and velocity of 15m/s will hit the ground at ' char(vpa(tHit, 4)) ' seconds.'])

The ball with an initial height of 10m and velocity of 15m/s will hit the ground at 3.621 seconds.

От числовой симуляции мы можем найти самое близкое значение в симуляции когда $h (t_{i}) \approx 0$

i = ceil(double(tHit/dt));
t([i-1 i i+1])

ans = 1×3

    3.5500    3.6000    3.6500

plot(t,h,'o')
hold on 
fplot(eqn,[0 10])
plot(t([i-1 i i+1 ]),h([i-1 i i+1 ]),'*R')
title('Height over time')
xlim([0 5])
ylim([0 25])
hold off

Документация