Symbolic Math Toolbox™ предлагает и числовые и символьные решатели уравнения. Для сравнения числовых и символьных решателей смотрите, Выбирают Numeric or Symbolic Solver. Уравнение или система уравнений могут иметь несколько решений. Чтобы найти эти решения численно, используйте функциональный vpasolve. Для полиномиальных уравнений, vpasolve возвращает все решения. Для неполиномиальных уравнений, vpasolve возвращает первое решение, которое это находит. Это показывает вам, как использовать vpasolve найти решения и полиномиальных и неполиномиальных уравнений, и как получить эти решения произвольной точности.
Найдите нули неполиномиальной функции Используя поисковые области значений и начальные точки
Решите многомерные уравнения Используя поисковые области значений
Используйте vpasolve найти все решения функционировать .
syms f(x) f(x) = 6*x^7-2*x^6+3*x^3-8; sol = vpasolve(f)
sol =
1.0240240759053702941448316563337
- 0.88080620051762149639205672298326 + 0.50434058840127584376331806592405i
- 0.88080620051762149639205672298326 - 0.50434058840127584376331806592405i
- 0.22974795226118163963098570610724 + 0.96774615576744031073999010695171i
- 0.22974795226118163963098570610724 - 0.96774615576744031073999010695171i
0.7652087814927846556172932675903 + 0.83187331431049713218367239317121i
0.7652087814927846556172932675903 - 0.83187331431049713218367239317121i vpasolve возвращает семь корней функции, как ожидалось, потому что функция является полиномом степени семь.
Рассмотрите функцию . График функции показывает периодические нули с увеличением наклонов в нулевых точках как x увеличения.
syms x h = fplot(exp(x/7)*cos(2*x),[-2 25]); grid on
Используйте vpasolve найти нуль функционального f. Обратите внимание на то, что vpasolve возвращает только одно решение неполиномиального уравнения, даже если существуют несколько решений. На повторных вызовах, vpasolve возвращает тот же результат, даже если существуют несколько нулей.
f = exp(-x/20)*cos(2*x); for i = 1:3 vpasolve(f,x) end
ans = 19.634954084936207740391521145497 ans = 19.634954084936207740391521145497 ans = 19.634954084936207740391521145497
Чтобы найти несколько решений, установите опцию random к true. Это делает vpasolve выберите начальные точки случайным образом. Для получения информации об алгоритме, который выбирает случайные начальные точки, см. Алгоритмы на vpasolve страница.
for i = 1:3 vpasolve(f,x,'random',true) end
ans = -226.98006922186256147892598444194 ans = 98.174770424681038701957605727484 ans = 58.904862254808623221174563436491
Чтобы найти нуль близко к x = 10 и к x = 1000, установите начальную точку 10, и затем к 1000.
vpasolve(f,x,10) vpasolve(f,x,1000)
ans = 10.210176124166828025003590995658 ans = 999.8118620049516981407362567287
Найти нуль в области значений , установите поисковую область значений на [15 25].
vpasolve(f,x,[15 25])
ans = 21.205750411731104359622842837137
Найти несколько нулей в области значений [15 25], вы не можете вызвать vpasolve неоднократно, когда это возвращает тот же результат на каждом вызове, как ранее показано. Вместо этого установите random к true в сочетании с поисковой областью значений.
for i = 1:3 vpasolve(f,x,[15 25],'random',true) end
ans = 21.205750411731104359622842837137 ans = 16.493361431346414501928877762217 ans = 16.493361431346414501928877762217
Если вы задаете random опция, также задавая начальную точку, vpasolve предупреждает вас, что эти две опции несовместимы.
vpasolve(f,x,15,'random',true)
Warning: 'Random' has no effect because all variables have a starting value. > In sym/vpasolve (line 168) ans = 14.922565104551517882697556070578
Создайте функциональный findzeros ниже, чтобы систематически найти все нули для f в данной поисковой области значений, в ошибочном допуске. Это запускается с входной области значений поиска и вызывает vpasolve найти нуль. Затем это разделяет поисковую область значений в два вокруг значения нуля, и рекурсивно вызывает себя с новыми поисковыми областями значений как входные параметры, чтобы найти больше нулей. Первый вход является функцией, второй вход является областью значений, и дополнительный третий вход позволяет вам задавать ошибку между нулем и верхними и нижними границами, сгенерированными от него.
Функции объясняют раздел разделом здесь.
Объявите функцию с двумя входными параметрами и одним выходом.
function sol = findzeros(f,range,err)Если вы не задаете дополнительный аргумент для ошибочного допуска, findzeros наборы err к 0.001.
if nargin < 2 err = 1e-3; end
Найдите нуль в поисковой области значений с помощью vpasolve.
sol = vpasolve(f,range);
Если vpasolve не находит нуль, выход.
if(isempty(sol)) return
Если vpasolve находит нуль, разделите поисковую область значений в две поисковых области значений выше и ниже нуля.
else
lowLimit = sol-err;
highLimit = sol+err;
Вызовите findzeros с более низкой поисковой областью значений. Если findzeros возвращает нули, скопируйте значения в массив решения и отсортируйте их.
temp = findzeros(f,[range(1) lowLimit],1);
if ~isempty(temp)
sol = sort([sol temp]);
endВызовите findzeros с более высокой поисковой областью значений. Если findzeros возвращает нули, скопируйте значения в массив решения и отсортируйте их.
temp = findzeros(f,[highLimit range(2)],1);
if ~isempty(temp)
sol = sort([sol temp]);
end
return
end
endЦелая функция findzeros следующие.
function sol = findzeros(f,range,err) if nargin < 3 err = 1e-3; end sol = vpasolve(f,range); if(isempty(sol)) return else lowLimit = sol-err; highLimit = sol+err; temp = findzeros(f,[range(1) lowLimit],1); if ~isempty(temp) sol = sort([sol temp]); end temp = findzeros(f,[highLimit range(2)],1); if ~isempty(temp) sol = sort([sol temp]); end return end end
Вызовите findzeros с поисковой областью значений [10 20] найти все нули в той области значений для f(x) = exp(-x/20)*cos(2*x), в ошибочном допуске по умолчанию.
syms f(x)
f(x) = exp(-x/20)*cos(2*x);
findzeros(f,[10 20])ans = [ 10.210176124166828025003590995658, 11.780972450961724644234912687298,... 13.351768777756621263466234378938, 14.922565104551517882697556070578,... 16.493361431346414501928877762217, 18.064157758141311121160199453857,... 19.634954084936207740391521145497]
Используйте digits установить точность решений. По умолчанию, vpasolve возвращает решения точности 32 значащих цифр. Используйте digits увеличить точность до 64 значащих цифр. При изменении digits, гарантируйте, что вы сохраняете его текущее значение так, чтобы можно было восстановить его.
f = exp(x/7)*cos(2*x); vpasolve(f) digitsOld = digits; digits(64) vpasolve(f) digits(digitsOld)
ans = -7.0685834705770347865409476123789 ans = -7.068583470577034786540947612378881489443631148593988097193625333
Рассмотрите следующую систему уравнений.
График уравнений для 0 ≤ x ≤ 2,5 и 0 ≤ x ≤ 2.5 показывает, что три поверхности пересекаются в двух точках. Чтобы лучше визуализировать график, используйте view. Чтобы масштабировать значения палитры, используйте caxis.
syms x y z eqn1 = z == 10*(cos(x) + cos(y)); eqn2 = z == x+y^2-0.1*x^2*y; eqn3 = x+y-2.7 == 0; equations = [eqn1 eqn2 eqn3]; fimplicit3(equations) axis([0 2.5 0 2.5 -20 10]) title('System of Multivariate Equations') view(69, 28) caxis([-15 10])
Используйте vpasolve найти точку, где поверхности пересекаются. Функциональный vpasolve возвращает структуру. Чтобы получить доступ к решению, индексируйте в структуру.
sol = vpasolve(equations); [sol.x sol.y sol.z]
ans =
Чтобы искать область пробела решения, укажите поисковые диапазоны для переменных. Если вы указываете диапазоны и , затем vpasolve функционируйте ищет ограниченную область, показанную в изображении.
Используйте vpasolve найти решение для этой поисковой области значений и . Не использовать поисковую область значений для z, установите поисковую область значений на [NaN NaN].
vars = [x y z]; range = [0 1.5; 1.5 2.5; NaN NaN]; sol = vpasolve(equations, vars, range); [sol.x sol.y sol.z]
ans =
Чтобы найти несколько решений, можно установить random опция к true. Это делает vpasolve используйте случайные начальные точки на последовательных запусках. random опция может использоваться в сочетании с поисковыми областями значений, чтобы сделать vpasolve используйте случайные начальные точки в поисковой области значений. Поскольку random выбирает начальные точки случайным образом, то же решение может быть найдено на последовательных вызовах. Вызовите vpasolve неоднократно, чтобы убеждаться вы находите оба решения.
clear sol range = [0 3; 0 3; NaN NaN]; for i = 1:5 temp = vpasolve(equations, vars, range, 'random', true); sol(i,1) = temp.x; sol(i,2) = temp.y; sol(i,3) = temp.z; end sol
sol =
Постройте уравнения. Наложите решения как график рассеивания точек с желтым X маркеры с помощью scatter3. Чтобы лучше визуализировать график, сделайте две из поверхностей прозрачным использованием alpha. Масштабируйте палитру к значениям графика с помощью caxis, и измените перспективу с помощью view.
vpasolve находит решения на пересечении поверхностей сформированными уравнениями как показано.
clf ax = axes; h = fimplicit3(equations); h(2).FaceAlpha = 0; h(3).FaceAlpha = 0; axis([0 2.5 0 2.5 -20 10]) hold on scatter3(sol(:,1),sol(:,2),sol(:,3),600,'yellow','X','LineWidth',2) title('Randomly found solutions in specified search range') cz = ax.Children; caxis([0 20]) view(69,28) hold off
