В этом примере показано, как пакеты вейвлета отличаются от дискретного вейвлета преобразовывает (DWT). Пример показывает, как пакет вейвлета преобразовывает результаты в фильтрацию поддиапазона равной ширины сигналов в противоположность более грубой фильтрации полосы октавы, найденной в DWT.
Это делает пакеты вейвлета привлекательной альтернативой DWT во многих приложениях. Двумя примерами, представленными здесь, является частотно-временной анализ и классификация сигнала. У вас должны быть Statistics and Machine Learning Toolbox™ и Signal Processing Toolbox™, чтобы выполнить классификацию.
Если вы используете ортогональный вейвлет с пакетом вейвлета, преобразовывают, вы дополнительно заканчиваете с разделением энергии сигнала среди поддиапазонов равной ширины.
Особое внимание в качестве примера на 1D случае, но многие концепции расширяет непосредственно к пакетному преобразованию вейвлета изображений.
Следующий рисунок показывает дерево DWT для 1D входного сигнала.
Рисунок 1: Дерево DWT вниз к уровню 3 для 1D входного сигнала.
масштабирующийся (lowpass) аналитический фильтр и представляет вейвлет (highpass) аналитический фильтр. Метки в нижней части показывают раздел оси частоты [0,1/2] в поддиапазоны.
Рисунок показывает, что последующие уровни DWT управляют только на выходных параметрах lowpass (масштабирование) фильтром. На каждом уровне DWT делит сигнал на полосы октавы. В критически произведенном DWT выходные параметры полосовых фильтров прорежены два на каждом уровне. В неподкошенном дискретном вейвлете преобразовывают, выходные параметры не прорежены.
Сравните дерево DWT с полным пакетным деревом вейвлета.
Рисунок 2: Полное пакетное дерево вейвлета вниз к уровню 3.
В вейвлете пакет преобразовывает, операции фильтрации также применяются к вейвлету, или детали, коэффициентам. Результат состоит в том, что пакеты вейвлета обеспечивают фильтрацию поддиапазона входного сигнала на прогрессивно более прекрасные интервалы равной ширины. На каждом уровне, , ось частоты [0,1/2] разделена на поддиапазоны. Поддиапазоны в герц на уровне j приблизительно
где Фс является частотой дискретизации.
То, насколько хороший это полосовое приближение, зависит от того, насколько локализованный частотой фильтры. Для фильтров Фейера-Коровкина как 'fk18' (18 коэффициентов), приближение довольно хорошо. Для фильтра как Хаар ('Хаар') приближение не точно.
В критически произведенном вейвлете пакет преобразовывает выходные параметры полосовых фильтров, прорежены два. В неподкошенном вейвлете пакет преобразовывает, выходные параметры не прорежены.
Поскольку пакеты вейвлета делят ось частоты на более прекрасные интервалы, чем DWT, пакеты вейвлета выше в частотно-временном анализе. Как пример, рассмотрите две неустойчивых синусоиды с частотами 150 и 200 Гц в аддитивном шуме. Данные производятся на уровне 1 кГц. Чтобы предотвратить потерю разрешения времени, свойственного от критически произведенного пакета вейвлета, преобразовывают, используют неподкошенный, преобразовывают.
dt = 0.001; t = 0:dt:1-dt; x = ... cos(2*pi*150*t).*(t>=0.2 & t<0.4)+sin(2*pi*200*t).*(t>0.6 & t<0.9); y = x+0.05*randn(size(t)); [wpt,~,F] = modwpt(x,'TimeAlign',true); contour(t,F.*(1/dt),abs(wpt).^2) grid on xlabel('Time (secs)') ylabel('Hz') title('Time-Frequency Analysis -- Undecimated Wavelet Packet Transform')
Обратите внимание на то, что пакет вейвлета преобразовывает, может разделить компоненты на 150 и 200 Гц. Это не верно для DWT, потому что падение на 150 и 200 Гц той же полосы октавы. Полосы октавы для уровня четыре DWT (в Гц)
[0,31.25)
[31.25,62.5)
[62.5,125)
[125,250)
[250,500)
Продемонстрируйте, что эти два компонента локализуются временем DWT, но не разделяются в частоте.
mra = modwtmra(modwt(y,'fk18',4),'fk18'); J = 5:-1:1; freq = 1/2*(1000./2.^J); contour(t,freq,flipud(abs(mra).^2)) grid on ylim([0 500]) xlabel('Time (secs)') ylabel('Hz') title('Time-Frequency Analysis -- Undecimated Wavelet Transform')
Конечно, непрерывный вейвлет преобразовывает (CWT) обеспечивает более высокий частотно-временной анализ разрешения, чем пакет вейвлета преобразовывает, но пакеты вейвлета обладают дополнительным преимуществом того, чтобы быть ортогональным преобразованием (при использовании ортогонального вейвлета). Ортогональное преобразовывает средние значения, что энергия в сигнале сохранена и разделена среди коэффициентов, как демонстрирует следующий раздел.
В дополнение к фильтрации сигнала в поддиапазоны равной ширины на каждом уровне пакет вейвлета преобразовывает разделы энергия сигнала среди поддиапазонов. Это верно и для подкошенного и для неподкошенного пакета вейвлета, преобразовывает. Чтобы продемонстрировать это, загрузите набор данных, содержащий сейсмическую запись землетрясения. Эти данные похожи на временные ряды, используемые в примере классификации сигнала ниже.
load kobe plot(kobe) grid on xlabel('Seconds') title('Kobe Earthquake Data')
Получите и подкошенные и неподкошенные пакетные преобразования вейвлета данных вниз к уровню 3. Чтобы гарантировать сопоставимые результаты для подкошенного пакета вейвлета преобразовывают, пример устанавливает dwtmode
к periodization и возвращает его в вашу исходную установку в конце примера.
st = dwtmode('status','nodisplay'); dwtmode('per','nodisplay'); wptreeDecimated = wpdec(kobe,3,'fk18'); wptUndecimated = modwpt(kobe,3);
Во-первых, извлеките все пакетные коэффициенты вейвлета на уровне три для подкошенного преобразования.
wpcfs = zeros(8,381); for kk = 7:14 wpcfs(kk-6,:) = wpcoef(wptreeDecimated,kk); end
Теперь вычислите полную энергию и на подкошенном и на неподкошенном пакетном уровне вейвлета три коэффициента и сравните с энергией в исходном сигнале.
decimatedEnergy = sum(sum(abs(wpcfs).^2,2))
decimatedEnergy = 2.0189e+11
undecimatedEnergy = sum(sum(abs(wptUndecimated).^2,2))
undecimatedEnergy = 2.0189e+11
signalEnergy = norm(kobe,2)^2
signalEnergy = 2.0189e+11
Доли DWT это важное свойство с пакетом вейвлета преобразовывают.
wt = modwt(kobe,'fk18',3);
undecimatedWTEnergy = sum(sum(abs(wt).^2,2))
undecimatedWTEnergy = 2.0189e+11
Поскольку пакет вейвлета преобразовывает на каждом уровне, делит ось частоты на интервалы равной ширины и делит энергию сигнала среди тех интервалов, можно часто создавать полезные характеристические векторы для классификации только путем сохранения относительной энергии в каждом пакете вейвлета. Следующий пример демонстрирует это.
Сейсмические записи поднимают действие со многих источников. Важно смочь классифицировать это действие на основе своего источника. Например, землетрясения и взрывы могут представить подобные подписи временного интервала, но очень важно дифференцироваться между этими двумя событиями. Набор данных EarthQuakeExplosionData
содержит 16 записей с 2 048 выборками. Первые 8 записей (столбцы) являются сейсмическими записями землетрясений, последние 8 записей (столбцы) являются сейсмическими записями взрывов. Загрузите данные и постройте землетрясение и запись взрыва для сравнения. Данные взяты из пакета R astsa Стоффер (2014), который добавляет Шумвея и Стоффера (2011). Автор любезно позволил его использование в этом примере.
Постройте временные ряды от каждой группы для сравнения.
load EarthQuakeExplosionData subplot(2,1,1) plot(EarthQuakeExplosionData(:,3)) xlabel('Time') title('Earthquake Recording') grid on subplot(2,1,2) plot(EarthQuakeExplosionData(:,9)) xlabel('Time') title('Explosion Recording') grid on
Сформируйте пакетный характеристический вектор вейвлета путем разложения каждых временных рядов вниз, чтобы выровняться, три использования 'fk6' вейвлета с неподкошенным пакетом вейвлета преобразовывают. Это приводит к 8 поддиапазонам с аппроксимированной шириной 1/16 циклов/выборки. Используйте относительную энергию в каждом поддиапазоне, чтобы создать характеристический вектор. Как пример, получите пакетный энергетический характеристический вектор родственника вейвлета для первой записи землетрясения.
[wpt,~,F,E,RE] = modwpt(EarthQuakeExplosionData(:,1),3,'fk6');
RE содержит относительную энергию в каждом из этих 8 поддиапазонов. Если вы суммируете все элементы в RE, это равно 1. Обратите внимание на то, что это - значительное сокращение данных. Временные ряды длины 2048 уменьшаются до вектора с 8 элементами, каждым элементом, представляющим относительную энергию в пакетных узлах вейвлета на уровне 3. Функция помощника helperEarthQuakeExplosionClassifier
получает относительные энергии для каждой из этих 16 записей на уровне 3 с помощью 'fk6' вейвлета. Это приводит к 16 8 матрица и использует эти характеристические векторы в качестве входных параметров к kmeans классификатору. Классификатор использует критерий статистической величины Разрыва, чтобы определить оптимальное количество кластеров для характеристических векторов между 1 и 6 и классифицирует каждый вектор. Кроме того, классификатор выполняет ту же самую классификацию на неподкошенном вейвлете, преобразовывают коэффициенты на уровне 3, полученном с 'fk6' вейвлетом и спектрами мощности для каждых из временных рядов. Неподкошенный вейвлет преобразовывает результаты в 16 4 матрица (3 поддиапазона вейвлета и 1 масштабирующийся поддиапазон). Спектры мощности приводят к 16 1025 матрица. У вас должны быть Statistics and Machine Learning Toolbox™ и Signal Processing Toolbox™, чтобы запустить классификатор.
Level = 3;
[WavPacketCluster,WtCluster,PspecCluster] = ...
helperEarthQuakeExplosionClassifier(EarthQuakeExplosionData,Level)
WavPacketCluster = GapEvaluation with properties: NumObservations: 16 InspectedK: [1 2 3 4 5 6] CriterionValues: [-0.0039 0.0779 0.1314 0.0862 0.0296 -0.0096] OptimalK: 2
WtCluster = GapEvaluation with properties: NumObservations: 16 InspectedK: [1 2 3 4 5 6] CriterionValues: [-0.0095 0.0474 0.0706 0.0260 -0.0280 -0.0346] OptimalK: 1
PspecCluster = GapEvaluation with properties: NumObservations: 16 InspectedK: [1 2 3 4 5 6] CriterionValues: [0.3804 0.3574 0.3466 0.2879 0.3256 0.3326] OptimalK: 1
dwtmode(st,'nodisplay')
WavPacketCluster
кластеризация выход для неподкошенных пакетных характеристических векторов вейвлета. WtCluster
кластеризация выход с помощью неподкошенных характеристических векторов DWT и PspecCluster
выход для кластеризации на основе спектров мощности. Классификация пакетов вейвлета идентифицировала два кластера (OptimalK: 2
) как оптимальный номер. Исследуйте результаты пакетной кластеризации вейвлета.
res = [ WavPacketCluster.OptimalY(1:8)' ; WavPacketCluster.OptimalY(9:end)']
res = 2×8
1 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 2
Вы видите, что были совершены только две ошибки. Из восьми записей землетрясения, семь классифицируются вместе (группа 2), и каждый по ошибке классифицируется как принадлежащий группе 1. То же самое верно для 8 записей взрыва - 7, классифицируются вместе, и 1 неправильно классифицируется. Классификация на основе уровня три неподкошенных DWT и спектры мощности возвращает один кластер как оптимальное решение.
Если вы повторяете вышеупомянутое с уровнем, равным 4, неподкошенный вейвлет преобразовывают, и пакет вейвлета преобразовывают, выполняют тождественно. Оба идентифицируют два кластера, столь же оптимальные, и оба неправильно классифицируют первые и последние временные ряды как принадлежащий другой группе.
В этом примере вы изучили, как пакет вейвлета преобразовывает, отличается от дискретного вейвлета, преобразовывают. А именно, пакетное дерево вейвлета также фильтрует вейвлет (деталь) коэффициенты, в то время как вейвлет преобразовывает, только выполняет итерации на масштабирующемся (приближение) коэффициентов.
Вы узнали, что пакет вейвлета преобразовывает, совместно использует важное сохраняющее энергию свойство DWT при обеспечении превосходящего разрешения частоты. В некоторых приложениях это превосходящее разрешение частоты заставляет пакет вейвлета преобразовать привлекательную альтернативу DWT.
Wickerhauser, Т-х "Адаптировал анализ вейвлета от теории до программного обеспечения". Нажатие IEEE, 1994.
Персиваль, Д.Б. и Уолден, A.T. "Методы вейвлета для анализа временных рядов". Издательство Кембриджского университета, 2000.
Shumway, Р.Х. и Стоффер, D.H. "Анализ временных рядов и его приложения с примерами R". Спрингер, 2011.
Стоффер, D.H. "astsa: Прикладной Статистический Анализ Временных рядов". R версия пакета 1.3. https://CRAN.R-project.org/package=astsa, 2014.
Следующая функция помощника используется в этом примере: