Этот пример показывает, что полюса высокой кратности имеют высокую числовую чувствительность и могут переключить существенным количеством при переключении представления модели.
Полюса с высокой кратностью и кластерами соседних полюсов могут быть очень чувствительны к погрешностям округления, которые могут иногда иметь поразительные последствия. Этот пример использует модель в пространстве состояний дискретного времени 15-го порядка Hss с кластером устойчивых полюсов около z=1:
load numdemo Hss
Преобразуйте модель в передаточную функцию с помощью tf:
Htf = tf(Hss);
Сравните переходные процессы Hss и Htf чтобы видеть, как чувствительность полюса может влиять на устойчивость модели и вызвать большие изменения в вычисленное время и частотные характеристики:
step(Hss,'b',Htf,'r',20) legend('Hss','Htf')
Переходной процесс Htf отличается даже при том, что модель в пространстве состояний Hss устойчиво (все его полюса лежат в модульном кругу). Диаграмма Боде также показывает большое несоответствие между моделями передаточной функции и пространством состояний:
bode(Hss,'b',Htf,'r--') legend('Hss','Htf')
Алгоритм, используемый, чтобы преобразовать от пространства состояний до передаточной функции, не вызывает это несоответствие. Если вы преобразуете от пространства состояний до нулей, полюсов и усиления, первого шага в каком-либо SS к преобразованию TF, несоответствия исчезают:
Hzpk = zpk(Hss); step(Hss,'b',Hzpk,'r--') legend('Hss','Hzpk')
bode(Hss,'b',Hzpk,'r--')
Этот анализ показывает, что несоответствия возникают в ZPK к преобразованию TF, которое просто включает вычисление полинома от его корней.
Чтобы изучить причину этих больших несоответствий, сравните карты полюса/нуля модели в пространстве состояний и ее передаточной функции:
pzplot(Hss,'b',Htf,'r') legend('Hss','Htf')
Отметьте плотно упакованный кластер полюсов рядом z=1 в Hss. Когда эти полюса повторно объединены в знаменатель передаточной функции, ошибки округления тревожат кластер полюса в равномерно распределенный звонок полюсов вокруг z=1 (типичный шаблон для встревоженного несколько корней). К сожалению, некоторые встревоженные полюса пересекают модульный круг и делают передаточную функцию нестабильной. Увеличьте масштаб графика видеть эти полюса:
pzplot(Hss,'b',Htf,'r'); axis([0.5 1.5 -.4 .4])
Можно подтвердить это объяснение с простым экспериментом. Создайте полином, корни которого являются полюсами R1 из Hss, вычислите корни этого полинома и сравните эти корни с R1:
R1 = pole(Hss); % poles of Hss Den = poly(R1); % polynomial with roots R1 R2 = roots(Den); % roots of this polynomial plot(real(R1),imag(R1),'bx',real(R2),imag(R2),'r*') legend('R1','roots(poly(R1))');
Этот график показывает тот ROOTS(POLY(R1)) очень отличается от R1 из-за кластеризованных корней. В результате корни знаменателя передаточной функции значительно отличаются от полюсов исходной модели в пространстве состояний Hss.
В заключение необходимо постараться не преобразовывать пространство состояний или модели нулей, полюсов и усиления к форме передаточной функции, потому что этот процесс может подвергнуться значительной потере точности.
