Входной сигнал

Выборки входного сигнала, который мы будем использовать, чертятся от стандартного нормального распределения, чтобы иметь плоский спектр.

HSource = dsp.SignalSource('SamplesPerFrame', 500);
HSource.Signal = randn(1e6,1);      % Gaussian white noise signal

Проект Decimators

При десятикратном уменьшении пропускная способность сигнала уменьшается до соответствующего значения так, чтобы минимальное искажение произошло при сокращении уровня выборки. Предположим сигнал, который занимает полный интервал Найквиста (т.е. был критически произведен), имеет уровень выборки 800 Гц. Энергия сигнала расширяет до 400 Гц. Если мы хотели бы уменьшать уровень выборки фактором 4 - 200 Гц, значительное искажение произойдет, если пропускная способность сигнала не будет также уменьшаться фактором 4. Идеально, совершенный фильтр lowpass с сокращением на уровне 100 Гц использовался бы. На практике несколько вещей произойдут: компоненты сигнала между 0 и 100 Гц будут немного искажены неравномерностью в полосе пропускания неидеального фильтра lowpass; будет некоторое искажение из-за конечного затухания в полосе задерживания фильтра; фильтр будет иметь полосу перехода, которая исказит сигнал в такой полосе. Объемом искажения, введенного каждым из этих эффектов, можно управлять путем разработки соответствующего фильтра. В общем случае, чтобы получить лучший фильтр, более высокий порядок фильтра будет требоваться.

Давайте запустимся путем разработки простого lowpass decimator с фактором децимации 4.

M   = 4;   % Decimation factor
Fp  = 80;  % Passband-edge frequency
Fst = 100;  % Stopband-edge frequency
Ap  = 0.1; % Passband peak-to-peak ripple
Ast = 80;  % Minimum stopband attenuation
Fs  = 800; % Sampling frequency
HfdDecim = fdesign.decimator(M,'lowpass',Fp,Fst,Ap,Ast,Fs)

HfdDecim = 

  decimator with properties:

          MultirateType: 'Decimator'
               Response: 'Lowpass'
       DecimationFactor: 4
          Specification: 'Fp,Fst,Ap,Ast'
            Description: {4x1 cell}
    NormalizedFrequency: 0
                     Fs: 800
                  Fs_in: 800
                 Fs_out: 200
                  Fpass: 80
                  Fstop: 100
                  Apass: 0.1000
                  Astop: 80

Технические требования для фильтра решают, что полоса перехода 20 Гц приемлема между 80 и 100 Гц и что минимальное затухание для из компонентов полосы составляет 80 дБ. Также то, что максимальное искажение для компонентов интереса составляет 0,05 дБ (половина неравномерности в полосе пропускания от пика к пику). Фильтр equiripple, который соответствует этим спецификациям, может быть легко получен можно следующим образом:

HDecim = design(HfdDecim,'equiripple', 'SystemObject', true);
measure(HDecim)

HSpec = dsp.SpectrumAnalyzer(...                    % Spectrum scope
                    'PlotAsTwoSidedSpectrum', false, ...
                    'SpectralAverages', 50, 'OverlapPercent', 50, ...
                    'Title', 'Decimator with equiripple lowpass filter',...
                    'YLimits', [-50, 0], 'SampleRate', Fs/M*2);

while ~isDone(HSource)
    inputSig = HSource();   % Input
    decimatedSig = HDecim(inputSig);  % Decimator
    HSpec(upsample(decimatedSig,2));  % Spectrum
    % The upsampling is done to increase X-limits of SpectrumAnalyzer
    % beyond (1/M)*Fs/2 for better visualization
end
release(HSpec);
reset(HSource);

ans = 

Sample Rate      : 800 Hz     
Passband Edge    : 80 Hz      
3-dB Point       : 85.621 Hz  
6-dB Point       : 87.8492 Hz 
Stopband Edge    : 100 Hz     
Passband Ripple  : 0.092414 dB
Stopband Atten.  : 80.3135 dB 
Transition Width : 20 Hz      
 

Ясно из измерений, что проект соответствует спецификациям.

Используя фильтры Найквиста

Фильтры Найквиста привлекательны для децимации и интерполяции вследствие того, что часть 1/M количества коэффициентов является нулем. Полоса фильтра Найквиста обычно собирается быть равной фактору децимации, это сосредотачивает частоту среза в (1/M) *Fs/2. В этом примере полоса перехода сосредоточена вокруг (1/4) *400 = 100 Гц.

TW = 20; % Transition width of 20 Hz
HfdNyqDecim = fdesign.decimator(M,'nyquist',M,TW,Ast,Fs)

HfdNyqDecim = 

  decimator with properties:

          MultirateType: 'Decimator'
               Response: 'Nyquist'
       DecimationFactor: 4
          Specification: 'TW,Ast'
            Description: {2x1 cell}
                   Band: 4
    NormalizedFrequency: 0
                     Fs: 800
                  Fs_in: 800
                 Fs_out: 200
        TransitionWidth: 20
                  Astop: 80

Проект окна Кайзера может быть получен прямым способом.

HNyqDecim = design(HfdNyqDecim,'kaiserwin','SystemObject', true);

HSpec2 = dsp.SpectrumAnalyzer('PlotAsTwoSidedSpectrum', false, ...
                          'SpectralAverages', 50, 'OverlapPercent', 50, ...
                          'Title', 'Decimator with Nyquist filter',...
                          'YLimits', [-50, 0],...
                          'SampleRate', Fs/M*2);       % Spectrum scope
while ~isDone(HSource)
    inputSig = HSource();   % Input
    decimatedSig = HNyqDecim(inputSig);   % Decimator
    HSpec2(upsample(decimatedSig,2));  % Spectrum
    % The upsampling is done to increase X-limits of SpectrumAnalyzer
    % beyond (1/M)*Fs/2 for better visualization
end
release(HSpec2);
reset(HSource);

Искажение с фильтрами Найквиста

Предположим, что сигнал, который будет отфильтрован, имеет плоский спектр. После того, как отфильтрованный, это получает спектральную форму фильтра. После сокращения уровня выборки этот спектр повторяется с копиями, сосредоточенными вокруг множителей новой более низкой частоты дискретизации. Рисунок спектра подкошенного сигнала может быть найден от:

NFFT = 4096;
[H,f] = freqz(HNyqDecim,NFFT,'whole',Fs);
figure;
plot(f-Fs/2,20*log10(abs(fftshift(H))))
grid on
hold on
plot(f-Fs/M,20*log10(abs(fftshift(H))),'r-')
plot(f-Fs/2-Fs/M,20*log10(abs(fftshift(H))),'k-')
legend('Baseband spectrum', ...
    'First positive replica', 'First negative replica')
title('Alisasing with Nyquist filter');
fig = gcf;
fig.Color = 'White';
hold off

Обратите внимание на то, что копии перекрываются несколько, таким образом искажение введено. Однако искажение только происходит в полосе перехода. Таким образом, значительная энергия (выше предписанных 80 дБ) от первой копии только искажает в основную полосу между 90 и 100 Гц. Поскольку фильтр переходил в этой области так или иначе, сигнал был искажен в той полосе, и искажающий там не важно.

С другой стороны, заметьте, что несмотря на то, что мы использовали ту же ширину перехода в качестве с проектом lowpass сверху, мы на самом деле сохраняем более широкую применимую полосу (90 Гц, а не 80) при сравнении этого проекта Найквиста с исходным проектом lowpass. Чтобы проиллюстрировать это, давайте выполним ту же процедуру, чтобы построить спектр подкошенного сигнала, когда проект lowpass сверху будет использоваться

[H,f] = freqz(HDecim,NFFT,'whole',Fs);
figure;
plot(f-Fs/2,20*log10(abs(fftshift(H))))
grid on
hold on
plot(f-Fs/M,20*log10(abs(fftshift(H))),'r-')
plot(f-Fs/2-Fs/M,20*log10(abs(fftshift(H))),'k-')
legend('Baseband spectrum', ...
    'First positive replica', 'First negative replica')
title('Alisasing with lowpass filter');
fig = gcf;
fig.Color = 'White';
hold off

В этом случае нет никакого значительного перекрытия (выше 80 дБ) между копиями, однако потому что область перехода запустилась на уровне 80 Гц, получившийся подкошенный сигнал имеет меньшую применимую пропускную способность.

Десятикратное уменьшение 2: полуленточные фильтры

Когда фактор децимации равняется 2, фильтр Найквиста становится полуленточным фильтром. Эти фильтры очень привлекательны, потому что примерно половина их коэффициентов равна нулю. Часто, чтобы спроектировать фильтры Найквиста, когда полоса является четным числом, желательно выполнить многоступенчатый проект, который использует полуленточные фильтры на некоторых/всех этапах.

HfdHBDecim = fdesign.decimator(2,'halfband');
HHBDecim = design(HfdHBDecim,'equiripple','SystemObject', true);
HSpec3 = dsp.SpectrumAnalyzer('PlotAsTwoSidedSpectrum', false, ...
                          'SpectralAverages', 50, 'OverlapPercent', 50, ...
                          'Title', 'Decimator with halfband filter',...
                          'YLimits', [-50, 0],...
                          'SampleRate', Fs);         % Spectrum scope
while ~isDone(HSource)
    inputSig = HSource();   % Input
    decimatedSig = HHBDecim(inputSig);   % Decimator
    HSpec3(upsample(decimatedSig,2));  % Spectrum
end
release(HSpec3);
reset(HSource);

Как с другими фильтрами Найквиста, когда полуполосы будут использоваться в децимации, искажение произойдет только в области перехода.

Интерполяция

При интерполяции сигнала основополосный ответ сигнала нужно оставить максимально неизменным. Интерполяция получена путем удаления спектральных копий, когда уровень выборки увеличен.

Предположим, что нам произвели сигнал на уровне 48 Гц. Если это критически производится, существует значительная энергия в сигнале до 24 Гц. Если бы мы хотим интерполировать фактором 4, мы идеально спроектировали бы фильтр lowpass, достигающий 192 Гц с сокращением на уровне 24 Гц. Как с децимацией, на практике приемлемая ширина перехода должна быть включена в проект фильтра lowpass, используемого в интерполяции наряду с неравномерностью в полосе пропускания и конечным затуханием в полосе задерживания. Например, рассмотрите следующие спецификации:

L   = 4;   % Interpolation factor
Fp  = 22;  % Passband-edge frequency
Fst = 24;  % Stopband-edge frequency
Ap  = 0.1; % Passband peak-to-peak ripple
Ast = 80;  % Minimum stopband attenuation
Fs  = 48;  % Sampling frequency
HfdInterp = fdesign.interpolator(L,'lowpass',Fp,Fst,Ap,Ast,Fs*L)

HfdInterp = 

  interpolator with properties:

          MultirateType: 'Interpolator'
               Response: 'Lowpass'
    InterpolationFactor: 4
          Specification: 'Fp,Fst,Ap,Ast'
            Description: {4x1 cell}
    NormalizedFrequency: 0
                     Fs: 192
                  Fs_in: 48
                 Fs_out: 192
                  Fpass: 22
                  Fstop: 24
                  Apass: 0.1000
                  Astop: 80

Проект equiripple, который соответствует спецификациям, может быть найден таким же образом как с decimators

HInterp = design(HfdInterp,'equiripple','SystemObject', true);

HSpec4 = dsp.SpectrumAnalyzer('PlotAsTwoSidedSpectrum', false, ...
                 'SpectralAverages', 50, 'OverlapPercent', 50, ...
                 'Title', 'Interpolator with equiripple lowpass filter',...
                 'SampleRate', Fs*L);         % Spectrum scope
while ~isDone(HSource)
    inputSig = HSource();   % Input
    interpSig = HInterp(inputSig);   % Interpolator
    HSpec4(interpSig);  % Spectrum
end
release(HSpec4);
reset(HSource);

Заметьте, что фильтр имеет усиление 6 dBm. В общих интерполяторах будет иметь усиление равным коэффициенту интерполяции. Это необходимо для сигнала, интерполируемого, чтобы обеспечить ту же область значений после интерполяции. Например,

release(HInterp);
HSin = dsp.SineWave('Frequency', 18, 'SampleRate', Fs, ...
                    'SamplesPerFrame', 100);
interpSig = HInterp(HSin());
HPlot = dsp.ArrayPlot('YLimits', [-2, 2], ...
                      'Title', 'Sine wave interpolated');
HPlot(interpSig(200:300)) % Plot the output

Обратите внимание на то, что несмотря на то, что фильтр имеет усиление 4, интерполированный сигнал имеет ту же амплитуду как исходный сигнал.

Использование фильтров Найквиста для интерполяции

Подобно случаю децимации фильтры Найквиста привлекательны в целях интерполяции. Кроме того, учитывая, что существует коэффициент, равный нулю каждый выборки L, использование фильтров Найквиста гарантирует, что выборки от входного сигнала сохраняются неизменные при выходе. Дело обстоит не так для других фильтров lowpass, когда используется в интерполяции (с другой стороны, искажение может быть минимальным в других фильтрах, таким образом, это - не обязательно огромное соглашение).

TW = 2;
HfdNyqInterp = fdesign.interpolator(L,'nyquist',L,TW,Ast,Fs*L)
HNyqInterp = design(HfdNyqInterp,'kaiserwin', 'SystemObject', true);

HSpec5 = dsp.SpectrumAnalyzer('PlotAsTwoSidedSpectrum', false, ...
                          'SpectralAverages', 30, 'OverlapPercent', 50, ...
                          'Title', 'Interpolator with Nyquist filter',...
                          'SampleRate', Fs*L);         % Spectrum scope
while ~isDone(HSource)
    inputSig = HSource();   % Input
    interpSig = HNyqInterp(inputSig);   % Decimator
    HSpec5(interpSig);  % Spectrum
end
release(HSpec5);
reset(HSource);

HfdNyqInterp = 

  interpolator with properties:

          MultirateType: 'Interpolator'
               Response: 'Nyquist'
    InterpolationFactor: 4
          Specification: 'TW,Ast'
            Description: {2x1 cell}
                   Band: 4
    NormalizedFrequency: 0
                     Fs: 192
                  Fs_in: 48
                 Fs_out: 192
        TransitionWidth: 2
                  Astop: 80

Аналогичным способом к децимации, когда используется в интерполяции, фильтры Найквиста позволяют определенную степень обработки изображений. Таким образом, некоторые частоты выше частоты среза не ослабляются значением Ast. Однако это происходит только в полосе перехода фильтра. С другой стороны, еще раз более широкий фрагмент основной полосы исходного сигнала обеспечен неповрежденный, когда по сравнению с lowpass фильтруют с ребром полосы задерживания в идеальной частоте среза, когда оба фильтра имеют ту же ширину перехода.