В этом примере показано, как переупорядочение строк и столбцов разреженной матрицы может влиять на скорость и требования устройства хранения данных операции над матрицей.
spy
постройте показывает ненулевые элементы в матрице.
Этот spy
постройте показывает разреженную симметричную положительную определенную матрицу, выведенную из фрагмента матрицы штанги. Эта матрица описывает связи в графике, который напоминает штангу.
load barbellgraph.mat S = A + speye(size(A)); pct = 100 / numel(A); spy(S) title('A Sparse Symmetric Matrix') nz = nnz(S); xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.3f%%)',nz,nz*pct));
Вот график графика штанги.
G = graph(S,'omitselfloops'); p = plot(G,'XData',xy(:,1),'YData',xy(:,2),'Marker','.'); axis equal
Вычислите Фактор Холесского L
, где S = L*L'
. Заметьте тот L
содержит намного больше ненулевых элементов, чем неучтенный S
, потому что расчет факторизации Холесского создает ненули временной замены. Эти значения временной замены замедляют алгоритм и увеличивают затраты на хранение.
L = chol(S,'lower'); spy(L) title('Cholesky Decomposition of S') nc(1) = nnz(L); xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.2f%%)',nc(1),nc(1)*pct));
Путем переупорядочения строк и столбцов матрицы возможно уменьшать сумму временной замены, которую факторизация создает, таким образом, уменьшая время и затраты на хранение последующих вычислений.
Несколько различных переупорядочений, поддержанных MATLAB®:
colperm
: Количество столбцов
symrcm
: Обратный алгоритм Катхилла-Макки
amd
: Минимальная степень
dissect
: Вложенное рассечение
Протестируйте эффекты этих переупорядочений разреженной матрицы на матрице штанги.
colperm
команда использует алгоритм перестановки количества столбцов, чтобы переместить строки и столбцы с более высоким ненулевым количеством к концу матрицы.
q = colperm(S); spy(S(q,q)) title('S(q,q) After Column Count Ordering') nz = nnz(S); xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.3f%%)',nz,nz*pct));
Для этой матрицы упорядоченное расположение количества столбцов может едва уменьшать время и устройство хранения данных для факторизации Холесского.
L = chol(S(q,q),'lower'); spy(L) title('chol(S(q,q)) After Column Count Ordering') nc(2) = nnz(L); xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.2f%%)',nc(2),nc(2)*pct));
symrcm
команда использует обратный алгоритм Катхилла-Макки, чтобы подвинуть все ненулевые элементы поближе к диагонали, уменьшая пропускную способность исходной матрицы.
d = symrcm(S); spy(S(d,d)) title('S(d,d) After Cuthill-McKee Ordering') nz = nnz(S); xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.3f%%)',nz,nz*pct));
Временная замена, произведенная факторизацией Холесского, ограничена полосой, таким образом разложение на множители переупорядоченной матрицы занимает меньше времени и меньше устройства хранения данных.
L = chol(S(d,d),'lower'); spy(L) title('chol(S(d,d)) After Cuthill-McKee Ordering') nc(3) = nnz(L); xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.2f%%)', nc(3),nc(3)*pct));
amd
команда использует аппроксимированный минимальный алгоритм степени (мощный теоретический графиком метод), чтобы произвести большие блоки нулей в матрице.
r = amd(S); spy(S(r,r)) title('S(r,r) After Minimum Degree Ordering') nz = nnz(S); xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.3f%%)',nz,nz*pct));
Факторизация Холесского сохраняет блоки нулей, произведенных минимальным алгоритмом степени. Эта структура может значительно уменьшать время и затраты на хранение.
L = chol(S(r,r),'lower'); spy(L) title('chol(S(r,r)) After Minimum Degree Ordering') nc(4) = nnz(L); xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.2f%%)',nc(4),nc(4)*pct));
dissect
функционируйте использует теоретические графиком методы, чтобы произвести уменьшающие заливку упорядоченные расположения. Алгоритм обрабатывает матрицу как матрицу смежности графика, огрубляет график путем сворачивания вершин и ребер, переупорядочивает меньший график, и затем использует шаги улучшения, чтобы не огрубить маленький график и произвести переупорядочение исходного графика. Результатом является мощный алгоритм, который часто производит наименьшее количество суммы временной замены по сравнению с другими алгоритмами перестановки.
p = dissect(S); spy(S(p,p)) title('S(p,p) After Nested Dissection Ordering') nz = nnz(S); xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.3f%%)',nz,nz*pct));
Подобно минимальному упорядоченному расположению степени факторизация Холесского вложенного рассечения, заказывающего в основном, сохраняет ненулевую структуру S(d,d)
ниже основной диагонали.
L = chol(S(p,p),'lower'); spy(L) title('chol(S(p,p)) After Nested Dissection Ordering') nc(5) = nnz(L); xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.2f%%)',nc(5),nc(5)*pct));
Эта столбчатая диаграмма обобщает эффекты переупорядочения матрицы прежде, чем выполнить факторизацию Холесского. В то время как факторизация Холесского исходной матрицы имела приблизительно 8% своих элементов как ненули, с помощью dissect
или symamd
уменьшает ту плотность меньше чем до 1%.
labels = {'Original','Column Count','Cuthill-McKee',... 'Min Degree','Nested Dissection'}; bar(nc*pct) title('Nonzeros After Cholesky Factorization') ylabel('Percent'); ax = gca; ax.XTickLabel = labels; ax.XTickLabelRotation = -45;