Создайте интерактивные материалы курса Используя Live Editor

Следующее является примером того, как использовать live скрипты в классе. В этом примере показано, как к:

Добавьте уравнения, чтобы объяснить базовую математику.
Выполните отдельные разделы кода MATLAB.
Включайте графики для визуализации.
Используйте ссылки и изображения, чтобы предоставить информацию о поддержке.
Экспериментируйте с кодом MATLAB в интерактивном режиме.
Укрепите концепции с другими примерами.
Используйте live скрипты в присвоениях.

Что означает найти энный корень 1?

Добавьте уравнения, чтобы объяснить базовую математику для концепций, которые вы хотите преподавать. Чтобы добавить уравнение, перейдите к вкладке Live Editor и нажмите кнопку Equation. Затем выберите из символов и структур во вкладке Equation.

Сегодня мы собираемся говорить о нахождении корней 1. Что означает найти энный корень 1? Энные корни 1 являются решениями уравнения $x^{n} - 1 = 0$ .

Для квадратных корней это легко. Значения $x = \pm \sqrt{1} = \pm 1$ . Для корней высшего порядка это становится немного более трудным. Чтобы найти кубические корни 1, мы должны решить уравнение $x^{3} - 1 = 0$ . Мы можем учесть это уравнение, чтобы добраться

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0 .$

Таким образом, первый кубический корень равняется 1. Теперь мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения, чтобы получить вторые и третьи кубические корни.

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a}$

Вычисление кубических корней

Чтобы выполнить отдельные разделы кода MATLAB, перейдите к вкладке Live Editor и нажмите кнопку Run Section. Выведите появляется вместе с кодом, который создал его. Создайте разделы с помощью кнопки Section Break.

В нашем случае a, b, и c все равны 1. Другие два корня вычисляются от этих формул:

a = 1 ; b = 1 ; c = 1;
roots = [];
roots(1) = 1;
roots(2) = (-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a);    % Use the quadratic formula
roots(3) = (-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a);

Так полный набор кубических корней 1:

disp(roots')

   1.0000 + 0.0000i
  -0.5000 - 0.8660i
  -0.5000 + 0.8660i

Отображение корней в комплексной плоскости

Включайте графики в Live Editor, таким образом, студенты могут визуализировать важные концепции.

Мы можем визуализировать корни в комплексной плоскости, чтобы видеть их местоположение.

range = 0:0.01:2*pi;                              
plot(cos(range),sin(range),'k')                % Plot the unit circle                 
axis square; box off
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
hold on
plot(real(roots), imag(roots), 'ro')           % Plot the roots

Нахождение корней высшего порядка

Чтобы добавить информацию о поддержке, перейдите к вкладке Live Editor и нажмите Hyperlink и Кнопки с изображением. Студенты могут использовать информацию о поддержке, чтобы исследовать темы лекции за пределами класса.

Если вы заканчиваете $n = 3$ , вещи становятся еще более хитрыми. Для 4-х корней мы могли использовать биквадратную формулу, обнаруженную Лодовико Феррари в 1 540. Но эта формула является длинной и громоздкой, и не помогает нам найти корни выше, чем 4. К счастью существует лучший путь благодаря французскому математику 17-го века по имени Абрахам де Муавр.

Абрахам де Муавр родился в Витри в шампанском 26 мая 1667. Он был современником и другом Исаака Ньютона, Эдмунда Халли и Джеймса Стирлинга. https://en.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre

Он известен прежде всего теоремой де Муавра, которая соединяет комплексные числа и тригонометрию, и его работой над нормальным распределением и теорией вероятности. Де Муавр записал книгу по теории вероятности, Доктрину Возможностей, которые, как сказали, были оценены игроками. Де Муавр сначала обнаружил формулу Бине, выражение закрытой формы для Чисел Фибоначчи, соединяющих энную степень золотого сечения φ к энному Числу Фибоначчи. Он был также первым, чтобы постулировать Центральную предельную теорему, краеугольный камень теории вероятности.

теорема де Муавра утверждает это для любого действительного x и любого целого числа n,

${(\cos x + i \sin x)}^{n} = \cos (nx) + i \sin (nx) .$

Как это помогает нам решить нашу задачу? Мы также знаем это для любого целого числа k,

$1 = \cos (2 k π) + i \sin (2 k π) .$

Таким образом теоремой де Муавра мы добираемся

$1^{1 / n} = {(\cos (2 k π) + i \sin (2 k π))}^{1 / n} = \cos (\frac{2 k π}{n}) + i \sin (\frac{2 k π}{n}) .$

Вычисление энных Корней 1

Используйте Live Editor, чтобы экспериментировать с кодом MATLAB в интерактивном режиме. Добавьте средства управления, чтобы показать студентам, как важные параметры влияют на анализ. Чтобы добавить средства управления, перейдите к вкладке Live Editor, нажмите кнопку Controls и выберите из доступных параметров.

Мы можем использовать это последнее уравнение, чтобы найти энные корни 1. Например, для любого значения n, мы можем использовать формулу выше со значениями $k = 0 \dots n - 1$ . Мы можем использовать этот код MATLAB, чтобы экспериментировать с различными значениями n:

n = 6;
корни = нули (1, n);
for k = 0:n-1
    корни (k+1) = because(2*k*pi/n) + 1i*sin (2*k*pi/n);    % Calculate the roots
end
disp (корни)

   1.0000 + 0.0000i
   0.5000 - 0.8660i
  -0.5000 - 0.8660i
  -1.0000 - 0.0000i
  -0.5000 + 0.8660i
   0.5000 + 0.8660i

Графический вывод корней в комплексной плоскости показывает, что корни равномерно распределены вокруг модульного круга с промежутками в $2 π / n$ .

cla
plot(cos(range),sin(range),'k')                   % Plot the unit circle
hold on
plot(real(roots),imag(roots),'ro')              % Plot the roots

Находя энные корни-1, i и-i

Используйте дополнительные примеры, чтобы укрепить важные концепции. Измените код во время лекции, чтобы ответить на вопросы или исследовать идеи в большей глубине.

Мы можем найти корни-1, i и-i только при помощи расширений подхода описанный выше. Если мы смотрим на модульный круг, мы видим, что значения 1, i,-1,-i появляюсь под углами $0$ , $π / 2$ , $π$ , и $3 π / 2$ соответственно.

r = ones(1,4);
theta = [0 pi/2 pi 3*pi/2];
[x,y] = pol2cart(theta,r);
cla
plot(cos(range),sin(range),'k')           % Plot the unit circle
hold on
plot(x, y, 'ro')                          % Plot the values of 1, i, -1, and -i
text(x(1)+0.05,y(1),'1')                  % Add text labels
text(x(2),y(2)+0.1,'i')
text(x(3)-0.1,y(3),'-1')
text(x(4)-0.02,y(4)-0.1,'-i')

Зная это, мы можем записать следующее выражение поскольку i:

$i = \cos ((2 k + 1 / 2) π) + i \sin ((2 k + 1 / 2) π) .$

Пущение энного корня обеих сторон дает

$i^{1 / n} = {(\cos ((2 k + 1 / 2) π) + i \sin ((2 k + 1 / 2) π))}^{1 / n}$

и теоремой де Муавра мы добираемся

$i^{1 / n} = {(\cos ((2 k + 1 / 2) π) + i \sin ((2 k + 1 / 2) π))}^{1 / n} = \cos (\frac{(2 k + 1 / 2) π}{n}) + i \sin (\frac{(2 k + 1 / 2) π}{n}) .$

Домашняя работа

Используйте live скрипты в качестве основания для присвоений. Дайте студентам live скрипт, используемый в лекции, и сделайте, чтобы они завершили упражнения, которые тестируют их понимание материала.

Используйте методы, описанные выше, чтобы завершить следующие упражнения:

Упражнение 1: Запишите код MATLAB, чтобы вычислить 3 кубических корня i.

% Put your code here

Упражнение 2: Запишите код MATLAB, чтобы вычислить 5 пятых корней-1.

% Put your code here

Упражнение 3: Опишите математический подход, который вы использовали бы, чтобы вычислить энные корни произвольного комплексного числа. Включайте уравнения, которые вы использовали в своем подходе.

(Опишите свой подход здесь),

Документация