Подберите модель к данным с комплексным знаком

Открыть скрипт

В этом примере показано, как выполнить нелинейный подбор кривой данных с комплексным знаком. В то время как большинство решателей Optimization Toolbox™ и алгоритмов работают только с данными с действительным знаком, решателями наименьших квадратов и fsolve может работать и над данными с комплексным знаком и над с действительным знаком для неограниченных проблем. Целевая функция должна быть аналитичной в смысле комплексной функции.

Не устанавливайте FunValCheck опция к 'on' при использовании комплексных данных. Ошибки решателя.

Модель данных

Модель данных является простым экспоненциалом:

$$y(x) = v_1 + v_2 e^{v_3 x}.$$

$x$Входные данные,$y$ ответ и$v$ комплексный вектор коэффициентов. Цель состоит в том, чтобы оценить$v$ от$x$ и шумные наблюдения$y$. Модель данных аналитична, таким образом, можно использовать ее в сложном решении.

Искусственные данные с шумом

Сгенерируйте искусственные данные для модели. Возьмите комплексный вектор коэффициентов$v$ в качестве [2;3+4i;-.5+.4i]. Возьмите наблюдения$x$, как экспоненциально распределено. Добавьте шум с комплексным знаком в ответы$y$.

rng default % for reproducibility
N = 100; % number of observations
v0 = [2;3+4i;-.5+.4i]; % coefficient vector
xdata = -log(rand(N,1)); % exponentially distributed
noisedata = randn(N,1).*exp((1i*randn(N,1))); % complex noise
cplxydata = v0(1) + v0(2).*exp(v0(3)*xdata) + noisedata;

Подбирайте модель, чтобы восстановить вектор коэффициентов

Различие между ответом, предсказанным по условию модель и наблюдением (xdata для$x$ и ответ cplxydata для$y$):

objfcn = @(v)v(1)+v(2)*exp(v(3)*xdata) - cplxydata;

Используйте любой lsqnonlin или lsqcurvefit подбирать модель к данным. Этот пример сначала использует lsqnonlin.

opts = optimoptions(@lsqnonlin,'Display','off');
x0 = (1+1i)*[1;1;1]; % arbitrary initial guess
[vestimated,resnorm,residuals,exitflag,output] = lsqnonlin(objfcn,x0,[],[],opts);
vestimated,resnorm,exitflag,output.firstorderopt

vestimated =

   2.1582 + 0.1351i
   2.7399 + 3.8012i
  -0.5338 + 0.4660i


resnorm =

  100.9933


exitflag =

     3


ans =

    0.0018

lsqnonlin восстанавливает комплексный вектор коэффициентов приблизительно к одной значительной цифре. Норма невязки является значительной, указывая, что шум мешает модели соответствовать всем наблюдениям. Выходным флагом является 3, не предпочтительный 1, потому что мера оптимальности первого порядка о 1e-3, не ниже 1e-6.

Альтернатива: Используйте lsqcurvefit

Соответствовать использованию lsqcurvefit, запишите модель, чтобы дать только ответы, не ответы минус данные об ответе.

objfcn = @(v,xdata)v(1)+v(2)*exp(v(3)*xdata);

Используйте lsqcurvefit опции и синтаксис.

opts = optimoptions(@lsqcurvefit,opts); % reuse the options
[vestimated,resnorm] = lsqcurvefit(objfcn,x0,xdata,cplxydata,[],[],opts)

vestimated =

   2.1582 + 0.1351i
   2.7399 + 3.8012i
  -0.5338 + 0.4660i


resnorm =

  100.9933

Результаты совпадают с теми от lsqnonlin, потому что базовые алгоритмы идентичны. Используйте, какой бы ни решатель вы находите более удобными.

Альтернатива: разделите действительные и мнимые части

Чтобы включать границы, или просто остаться полностью в действительных значениях, можно разделить действительные и комплексные части коэффициентов в отдельные переменные. Для этой проблемы, разделение коэффициенты можно следующим образом:

$$ \begin{array}{l}
y = {v_1} + i{v_2} + ({v_3} + i{v_4})\exp \left( {({v_5} + i{v_6})x} \right)\\
\ \ = \left( {{v_1} + {v_3}\exp ({v_5}x)\cos ({v_6}x) - {v_4}\exp ({v_5}x)\sin ({v_6}x)} \right)\\
\ \ + i \left( {{v_2} + {v_4}\exp ({v_5}x)\cos ({v_6}x) + {v_3}\exp ({v_5}x)\sin ({v_6}x)} \right).
\end{array}$$

Запишите функцию отклика для lsqcurvefit.

function yout = cplxreal(v,xdata)

yout = zeros(length(xdata),2); % allocate yout

expcoef = exp(v(5)*xdata(:)); % magnitude
coscoef = cos(v(6)*xdata(:)); % real cosine term
sincoef = sin(v(6)*xdata(:)); % imaginary sin term
yout(:,1) = v(1) + expcoef.*(v(3)*coscoef - v(4)*sincoef);
yout(:,2) = v(2) + expcoef.*(v(4)*coscoef + v(3)*sincoef);

Сохраните этот код как файл cplxreal.m на вашем пути MATLAB®.

Разделите данные об ответе в его действительные и мнимые части.

ydata2 = [real(cplxydata),imag(cplxydata)];

Вектор коэффициентов v теперь имеет шесть размерностей. Инициализируйте его как все единицы и решите задачу с помощью lsqcurvefit.

x0 = ones(6,1);
[vestimated,resnorm,residuals,exitflag,output] = ...
    lsqcurvefit(@cplxreal,x0,xdata,ydata2);
vestimated,resnorm,exitflag,output.firstorderopt

Local minimum possible.

lsqcurvefit stopped because the final change in the sum of squares relative to 
its initial value is less than the value of the function tolerance.


vestimated =

    2.1582
    0.1351
    2.7399
    3.8012
   -0.5338
    0.4660


resnorm =

  100.9933


exitflag =

     3


ans =

    0.0018

Интерпретируйте векторный vestimated с шестью элементами как трехэлементный комплексный вектор, и вы видите, что решение является фактически тем же самым как предыдущими решениями.

Похожие темы

Документация Optimization Toolbox
Поддержка
Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте