В этом примере показано, как решить смешано-целочисленную линейную задачу. Несмотря на то, что не комплексный, пример показывает типичные шаги в формулировке проблемы с помощью синтаксиса в intlinprog
.
Для подхода, основанного на проблеме к этой проблеме смотрите Смешано-целочисленные Линейные Основы Программирования: основанный на проблеме.
Вы хотите смешать стали с различными химическими составами, чтобы получить 25 тонн стали с определенным химическим составом. Результат должен иметь 5%-й углерод и 5%-й молибден в развес, означая 25 tons*5% = 1,25 тонны углерода и 1,25 тонны молибдена. Цель состоит в том, чтобы минимизировать стоимость для смешивания стали.
Эта проблема взята от Карла-Хенрика Вестерберга, Бенгта Бйорклюнда и Эскила Хултмена, “Приложение Частично-целочисленного программирования в шведском Сталелитейном заводе”. Издание 7 февраля 1977 интерфейсов, стр № 2 39–43, чей краткий обзор по https://doi.org/10.1287/inte.7.2.39.
Четыре слитка стали доступны для покупки. Только один из каждого слитка доступен.
Три сорта легированной стали и один сорт стали фрагмента доступны для покупки. Сплавьте и фрагментируйте стали, может быть куплен в дробных суммах.
Чтобы сформулировать проблему, сначала выберите контрольные переменные. Возьмите переменную x(1) = 1
чтобы означать вас покупают слиток 1, и x(1) = 0
чтобы означать вас не покупают слиток. Точно так же переменные x(2)
через x(4)
бинарные переменные, указывающие, покупаете ли вы слитки 2 - 4.
Переменные x(5)
через x(7)
количества в тоннах сплавов 1, 2, и 3, что вы покупаете, и x(8)
количество стали фрагмента, которую вы покупаете.
Сформулируйте проблему путем определения входных параметров для intlinprog
. Соответствующий intlinprog
синтаксис:
[x,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Создайте входные параметры для intlinprog
сначала (f
) через последнее (ub
).
f
вектор коэффициентов стоимости. Коэффициенты, представляющие затраты на слитки, являются временами весов в слитках их стоимость на тонну.
f = [350*5,330*3,310*4,280*6,500,450,400,100];
Целочисленные переменные являются первыми четырьмя.
intcon = 1:4;
Совет: Чтобы задать бинарные переменные, установите переменные быть целыми числами в intcon
, и дайте им нижнюю границу 0
и верхняя граница 1
.
Проблема не имеет никаких линейных ограничений неравенства, таким образом, A
и b
пустые матрицы ([]
).
A = []; b = [];
Проблема имеет три ограничения равенства. Прежде всего, общая масса составляет 25 тонн.
5*x(1) + 3*x(2) + 4*x(3) + 6*x(4) + x(5) + x(6) + x(7) + x(8) = 25
Второе ограничение состоит в том, что вес углерода составляет 5% 25 тонн или 1,25 тонн.
5*0.05*x(1) + 3*0.04*x(2) + 4*0.05*x(3) + 6*0.03*x(4)
+ 0.08*x(5) + 0.07*x(6) + 0.06*x(7) + 0.03*x(8) = 1.25
Третье ограничение состоит в том, что вес молибдена составляет 1,25 тонны.
5*0.03*x(1) + 3*0.03*x(2) + 4*0.04*x(3) + 6*0.04*x(4)
+ 0.06*x(5) + 0.07*x(6) + 0.08*x(7) + 0.09*x(8) = 1.25
Задайте ограничения, которые являются Aeq*x = beq в матричной форме.
Aeq = [5,3,4,6,1,1,1,1; 5*0.05,3*0.04,4*0.05,6*0.03,0.08,0.07,0.06,0.03; 5*0.03,3*0.03,4*0.04,6*0.04,0.06,0.07,0.08,0.09]; beq = [25;1.25;1.25];
Каждая переменная ограничена ниже нулем. Целочисленные переменные ограничены выше одной.
lb = zeros(8,1);
ub = ones(8,1);
ub(5:end) = Inf; % No upper bound on noninteger variables
Теперь, когда у вас есть все входные параметры, вызовите решатель.
[x,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub);
LP: Optimal objective value is 8125.600000. Cut Generation: Applied 3 mir cuts. Lower bound is 8495.000000. Relative gap is 0.00%. Optimal solution found. Intlinprog stopped at the root node because the objective value is within a gap tolerance of the optimal value, options.AbsoluteGapTolerance = 0 (the default value). The intcon variables are integer within tolerance, options.IntegerTolerance = 1e-05 (the default value).
Просмотрите решение.
x,fval
x = 8×1
1.0000
1.0000
0
1.0000
7.2500
0
0.2500
3.5000
fval = 8.4950e+03
Оптимальная покупка стоит 8 495$. Купите слитки 1, 2, и 4, но не 3, и купите 7,25 тонн сплава 1, 0,25 тонны сплава 3 и 3,5 тонны стали фрагмента.
Установите intcon = []
видеть эффект решения задачи без целочисленных ограничений. Решение отличается, и не реалистично, потому что вы не можете купить часть слитка.