Запись векторных и матричных целевых функций

Что такое векторные или матричные целевые функции?

Некоторые решатели, такие как fsolve и lsqcurvefit, имейте целевые функции, которые являются векторами или матрицами. Основным различием в использовании между этими типами целевых функций и скалярных целевых функций является способ записать их производные. Частные производные первого порядка функции с матричным знаком или с векторным знаком называются якобианом; частные производные первого порядка скалярной функции называются градиентом.

Для получения информации о целевых функциях с комплексным знаком смотрите Комплексные числа в Решателях Optimization Toolbox.

Якобианы вектор-функций

Если x является вектором независимых переменных, и F (x) является вектор-функцией, якобиевский J (x)

$J_{i j} (x) = \frac{\partial F_{i} (x)}{\partial x_{j}} .$

Если F имеет компоненты m, и x имеет компоненты k, J является m-by-k матрица.

Например, если

$F (x) = [\begin{matrix} x_{1}^{2} + x_{2} x_{3} \\ \sin (x_{1} + 2 x_{2} - 3 x_{3}) \end{matrix}],$

затем J (x)

$J (x) = [\begin{matrix} 2 x_{1} & x_{3} & x_{2} \\ \cos (x_{1} + 2 x_{2} - 3 x_{3}) & 2 \cos (x_{1} + 2 x_{2} - 3 x_{3}) & - 3 \cos (x_{1} + 2 x_{2} - 3 x_{3}) \end{matrix}] .$

Файл функции, сопоставленный с этим примером:

function [F jacF] = vectorObjective(x)
F = [x(1)^2 + x(2)*x(3);
    sin(x(1) + 2*x(2) - 3*x(3))];
if nargout > 1 % need Jacobian
    jacF = [2*x(1),x(3),x(2);
        cos(x(1)+2*x(2)-3*x(3)),2*cos(x(1)+2*x(2)-3*x(3)), ...
        -3*cos(x(1)+2*x(2)-3*x(3))];
end

Чтобы указать к вашему решателю, что ваша целевая функция включает якобиан, устанавливает SpecifyObjectiveGradient опция к true. Например,

options = optimoptions('lsqnonlin','SpecifyObjectiveGradient',true);

Якобианы матричных функций

Якобиан матричного F (x) задан путем изменения матрицы в вектор, столбец столбцом. Например, перепишите матрицу

$F = [\begin{matrix} F_{11} & F_{12} \\ F_{21} & F_{22} \\ F_{31} & F_{32} \end{matrix}]$

как векторный f:

$f = [\begin{matrix} F_{11} \\ F_{21} \\ F_{31} \\ F_{12} \\ F_{22} \\ F_{32} \end{matrix}] .$

Якобиан F как якобиан f,

$J_{i j} = \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} .$

Если F является m-by-n матрица, и x является k - вектор, якобианом является mn-by-k матрица.

Например, если

$F (x) = [\begin{matrix} x_{1} x_{2} & x_{1}^{3} + 3 x_{2}^{2} \\ 5 x_{2} - x_{1}^{4} & x_{2} / x_{1} \\ 4 - x_{2}^{2} & x_{1}^{3} - x_{2}^{4} \end{matrix}],$

затем якобиан F

$J (x) = [\begin{matrix} x_{2} & x_{1} \\ - 4 x_{1}^{3} & 5 \\ 0 & - 2 x_{2} \\ 3 x_{1}^{2} & 6 x_{2} \\ - x_{2} / x_{1}^{2} & 1 / x_{1} \\ 3 x_{1}^{2} & - 4 x_{2}^{3} \end{matrix}] .$

Якобианы с независимыми переменными с матричным знаком

Если x является матрицей, задайте якобиан F (x) путем изменения матричного x в вектор, столбец столбцом. Например, если

$X = [\begin{matrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{matrix}],$

затем градиент задан в терминах вектора

$x = [\begin{matrix} x_{11} \\ x_{21} \\ x_{12} \\ x_{22} \end{matrix}] .$

$F = [\begin{matrix} F_{11} & F_{12} \\ F_{21} & F_{22} \\ F_{31} & F_{32} \end{matrix}],$

и с f векторная форма F как выше, якобиан F (X) задан как якобиан f (x):

$J_{i j} = \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} .$

Так, например,

$J (3, 2) = \frac{\partial f (3)}{\partial x (2)} = \frac{\partial F_{31}}{\partial X_{21}}, и J (5, 4) = \frac{\partial f (5)}{\partial x (4)} = \frac{\partial F_{22}}{\partial X_{22}} .$

Если F является m-by-n матрица, и x является j-by-k матрица, то якобианом является mn-by-jk матрица.

Документация