Поместите уравнения в форму расхождения

Коэффициент, соответствующий для формы расхождения

Как объяснено в уравнениях Можно Решить Используя Тулбокс УЧП, решатели Partial Differential Equation Toolbox™ обращаются к уравнениям формы

$- \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

или варианты, которые имеют производные относительно времени, или которые имеют собственные значения, или системы уравнений. Эти уравнения находятся в divergence form, где дифференциальный оператор начинается $\nabla \cdot$ . Коэффициенты a, c и f являются функциями положения (x, y, z) и возможно решения u.

Однако у вас могут быть уравнения в форме со всеми производными, явным образом расширенными, такой как

$(1 + x^{2}) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} - 3 x y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} + \frac{(1 + y^{2})}{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0$

Для того, чтобы преобразовать это расширенное уравнение в формат тулбокса, можно попытаться соответствовать, коэффициенты уравнения в расхождении формируются к расширенной форме. В форме расхождения, если

$c = (\begin{matrix} c_{1} & c_{3} \\ c_{2} & c_{4} \end{matrix})$

затем

$\begin{matrix} \nabla \cdot (c \nabla u) = c_{1} u_{x x} + (c_{2} + c_{3}) u_{x y} + c_{4} u_{y y} \\ + (\frac{\partial c_{1}}{\partial x} + \frac{\partial c_{2}}{\partial y}) u_{x} + (\frac{\partial c_{3}}{\partial x} + \frac{\partial c_{4}}{\partial y}) u_{y} \end{matrix}$

Соответствие с коэффициентами в _uxx и _uyy называет в $- \nabla \cdot (c \nabla u)$ к уравнению вы добираетесь

$\begin{array}{l} c_{1} = - (1 + x^{2}) \\ c_{4} = - (1 + y^{2}) / 2 \end{array}$

Затем смотря на коэффициенты _ux и _uy, который должен быть нулем, вы добираетесь

$\begin{array}{l} (\frac{\partial c_{1}}{\partial x} + \frac{\partial c_{2}}{\partial y}) = - 2 x + \frac{\partial c_{2}}{\partial y} \\ так \\ c_{2} = 2 x y . \\ (\frac{\partial c_{3}}{\partial x} + \frac{\partial c_{4}}{\partial y}) = \frac{\partial c_{3}}{\partial x} - y \\ так \\ c_{3} = x y \end{array}$

Это завершает преобразование уравнения к форме расхождения

$- \nabla \cdot (c \nabla u) = 0$

Граничные условия Могут Влиять на c Коэффициент

c коэффициент появляется в обобщенном Неймановом условии

$\vec{n} \cdot (c \nabla u) + q u = g$

Таким образом, когда вы выводите форму расхождения c коэффициент, имейте в виду, что этот коэффициент появляется в другом месте.

Например, рассмотрите 2D уравнение Пуассона –_uxx – _uyy = f. Очевидно, можно взять c = 1. Но существуют другие матрицы c, которые приводят к тому же уравнению: любой, которые имеют c (2) + c (3) = 0.

$\begin{matrix} \nabla \cdot (c \nabla u) = \nabla \cdot ((\begin{matrix} c_{1} & c_{3} \\ c_{2} & c_{4} \end{matrix}) (\begin{matrix} u_{x} \\ u_{y} \end{matrix})) \\ = \frac{\partial}{\partial x} (c_{1} u_{x} + c_{3} u_{y}) + \frac{\partial}{\partial y} (c_{2} u_{x} + c_{4} u_{y}) \\ = c_{1} u_{x x} + c_{4} u_{y y} + (c_{2} + c_{3}) u_{x y} \end{matrix}$

Таким образом, существует свобода в выборе матрицы c. Если у вас есть Нейманово граничное условие такой как

$\vec{n} \cdot (c \nabla u) = 2$

граничное условие зависит, на которой версии c вы используете. В этом случае убедитесь, что вы берете версию c, который совместим и с уравнением и с граничным условием.

Некоторые уравнения не могут быть преобразованы

Иногда не возможно найти преобразование в форму расхождения таким как

$- \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

Например, рассмотрите уравнение

$\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\cos (x + y)}{4} \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0$

Простым содействующим соответствием вы видите, что коэффициенты c ₁ и c ₄ –1 и –1/2 соответственно. Однако нет никакого c ₂ и c ₃, которые удовлетворяют остающимся уравнениям,

$\begin{matrix} c_{2} + c_{3} = \frac{- \cos (x + y)}{4} \\ \frac{\partial c_{1}}{\partial x} + \frac{\partial c_{2}}{\partial y} = \frac{\partial c_{2}}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial c_{3}}{\partial x} + \frac{\partial c_{4}}{\partial y} = \frac{\partial c_{3}}{\partial x} = 0 \end{matrix}$

Документация