Оценка DOA суперразрешения MUSIC

MUltiple SIgnal Classification (MUSIC) является алгоритмом определения направления с высоким разрешением на основе разложения собственного значения ковариационной матрицы датчика, наблюдаемой в массиве. MUSIC принадлежит семейству основанных на подпространстве алгоритмов определения направления.

Модель сигнала

Модель сигнала связывает полученные данные о датчике с сигналами, испускаемыми источником. Примите, что существует D некоррелированые или частично коррелированые источники сигнала, sd(t). Данные о датчике, xm(t), состоят из сигналов, как получено в массиве, вместе с шумом, nm(t). Снимок состояния данных о датчике является вектором данных датчика, полученным в элементах M массива в одно время t.

x(t)=As(t)+n(t)s(t)=[s1(t),s2(t),,sD(t))]A=[a(θ1)|a(θ2)||a(θD)]

  • x(t) является M-by-1 вектор полученного снимка состояния данных о датчике, которые состоят из сигналов и аддитивного шума.

  • A является M-by-D матрица, содержащая векторы прибытия. Вектор прибытия состоит из относительных сдвигов фазы в элементах массива плоской волны из одного источника. Каждый столбец A представляет вектор прибытия из одного из источников и зависит от направления прибытия, θd. θd является направлением угла падения для d th источник, и может представлять или поперечный угол для линейных матриц или азимут и угол вертикального изменения для плоских или 3D массивов.

  • s(t) является D-by-1 вектор исходных значений сигналов из источников D.

  • n(t) является M-by-1 вектор значений шума датчика.

Важным количеством в любом методе подпространства является sensor covariance matrix, Rx, выведенный из полученных данных сигнала. Когда сигналы являются некоррелироваными с шумом, ковариационная матрица датчика имеет два компонента, signal covariance matrix и noise covariance matrix.

Rx=E{xxH}=ARsAH+σn2I

где Rs является source covariance matrix. Диагональные элементы исходной ковариационной матрицы представляют исходную степень, и недиагональные элементы представляют исходные корреляции.

Rs=E{ssH}

Для некоррелированых источников или даже частично коррелируемых источников, Rs является положительно-определенной Эрмитовой матрицей и имеет полный ранг, D, равный количеству источников.

Ковариационной матрицей сигнала, ARsAH, является M-by-M матрица, также с рангом D < M.

Предположение об алгоритме MUSIC - то, что шумовые степени являются равными во всех датчиках и некоррелироваными между датчиками. С этим предположением шумовая ковариационная матрица становится M-by-M диагональная матрица с равными значениями по диагонали.

Поскольку истинная ковариационная матрица датчика не известна, MUSIC оценивает ковариационную матрицу датчика, Rx, от демонстрационной ковариационной матрицы датчика. Демонстрационная ковариационная матрица датчика является в среднем несколькими снимками состояния данных о датчике

Rx=1Tk=1Tx(t)x(t)H,

где T является количеством снимков состояния.

И шумовые подпространства сигнала

Поскольку ARsAH имеет, оценивают D, он имеет D положительные действительные собственные значения и нулевые собственные значения M – D. Собственные вектора, соответствующие положительным собственным значениям, охватывают signal subspace, Us= [v1,...,vD]. Собственные вектора, соответствующие нулевым собственным значениям, являются ортогональными к пробелу сигнала и охватывают null subspace, Un= [uD+1,...,uN]. Векторы прибытия также принадлежат подпространству сигнала, но они - собственные вектора. Собственные вектора пустого подпространства являются ортогональными к собственным векторам подпространства сигнала. Собственные вектора пустого подпространства, ui, удовлетворяют этому уравнению:

ARsAHui=0uHARsAHui=0(AHui)HRs(AHui)=0AHui=0

Поэтому векторы прибытия являются ортогональными к пустому подпространству.

Когда шум добавляется, собственные вектора ковариационной матрицы датчика с существующим шумом совпадают с бесшумной ковариационной матрицей датчика. Собственные значения увеличиваются шумовой степенью. Позвольте vi быть одним из исходных бесшумных собственных векторов пробела сигнала. Затем

Rxvi=ARsAHvi+σ02Ivi=(λi+σ02)vi

показывает, что собственные значения пробела сигнала увеличиваются σ02.

Пустые собственные вектора подпространства являются также собственными векторами Rx. Позвольте ui быть одним из пустых собственных векторов. Затем

Rxui=ARsAHui+σ02Iui=σ02ui

с собственными значениями σ02 вместо нуля. Пустое подпространство становится noise subspace.

MUSIC работает путем поиска всех векторов прибытия, которые являются ортогональными к шумовому подпространству. Чтобы сделать поиск, MUSIC создает зависимое углом падения выражение степени, названное псевдоспектром MUSIC:

PMUSIC(ϕ)=1aH(ϕ)UnUnHa(ϕ)

Когда вектор прибытия является ортогональным к шумовому подпространству, peaks псевдоспектра бесконечен. На практике, потому что существует шум, и потому что истинная ковариационная матрица оценивается произведенной ковариационной матрицей, векторы прибытия никогда не являются точно ортогональными к шумовому подпространству. Затем углы, под которыми PMUSIC имеет конечный peaks, являются желаемыми направлениями прибытия. Поскольку псевдоспектр может иметь больше peaks, чем существуют источники, алгоритм требует, чтобы вы задали количество источников, D, в качестве параметра. Затем алгоритм выбирает D самый большой peaks. Для универсальной линейной матрицы (ULA) пространство поиска является одномерной сеткой поперечных углов. Для плоских и 3D массивов пространство поиска является двумерной сеткой углов вертикального изменения и азимута.

Root-MUSIC

Для ULA знаменатель в псевдоспектре является полиномом в eikdcosφ, но может также быть рассмотрен полиномом в комплексной плоскости. В этом случается, можно использовать находящие корень методы, чтобы решить для корней, zi. Эти корни не обязательно лежат на модульном круге. Однако Root-MUSIC принимает, что корни D, самые близкие к модульному кругу, соответствуют истинным исходным направлениям. Затем можно вычислить исходные направления из фазы комплексных корней.

Пространственное сглаживание коррелированых источников

Когда некоторые исходные сигналы D коррелируются, Rs имеет неполный ранг, означая, что он имеет меньше, чем D ненулевые собственные значения. Поэтому количество нулевых собственных значений ARsAH превышает номер, M – D, нулевых собственных значений для некоррелированого исходного случая. Музыкальный спектакль ухудшается, когда сигналы коррелируются, как это происходит в многопутевой среде распространения. Способ компенсировать корреляцию состоит в том, чтобы использовать пространственное сглаживание.

Spatial smoothing использует в своих интересах свойства перевода универсального массива. Рассмотрите два коррелированых сигнала, прибывающие в L - элемент ULA. Исходная ковариационная матрица, Rs является сингулярной матрицей 2 на 2. Матрицей вектора прибытия является L-by-2 матрица

A1=[1eikdcosφ1ei(L1)kdcosφ11eikdcosφ2ei(L1)kdcosφ2]=[a(φ1)|a(φ2)]

для сигналов, прибывающих от поперечных углов φ1 и φ2. Количество k является номером волны сигнала. a(φ) представляет вектор прибытия под углом φ.

Можно создать второй массив путем перевода первого массива вдоль его оси одним расстоянием элемента, d. Матрица прибытия для второго массива

A2=[eikdcosφ1ei2kdcosφ1eiLkdcosφ1eikdcosφ2ei2kdcosφ2eiLkdcosφ2]=[eikdcosφ1a(φ1)|eikdcosφ2a(φ2)]

где векторы прибытия равны исходным векторам прибытия, но умноженные на зависимый направлением сдвиг фазы. Когда вы переводите исходный массив J –1 больше раз, вы получаете копии J массива. Если вы формируете единый массив из всех этих копий, то длиной единого массива является M = L + (J – 1).

На практике вы начинаете с M - массив элемента и формируете J перекрывающиеся подмассивы. Числом элементов в каждом подмассиве является L = M – J + 1. Следующий рисунок показывает отношение между полной длиной массива, M, количества подмассивов, J, и длиной каждого подмассива, L.

Для p th подмассив, исходная матрица прибытия сигнала

Ap=[eik(p1)dcosφ1a(φ1)|eik(p1)dcosφ2a(φ2)]=[a(φ1)|a(φ2)][eik(p1)dcosφ100eik(p1)dcosφ2]=A1Pp1P=[eikdcosφ100eikdcosφ2].

Исходная матрица вектора прибытия постумножается на диагональную матрицу фазы.

Последний шаг составляет в среднем ковариационные матрицы сигнала по всем подмассивам J, чтобы сформировать усредненную ковариационную матрицу сигнала, Ravgs. Средняя ковариационная матрица сигнала зависит от сглаживавшей исходной ковариационной матрицы, Rsmooth.

Rsavg=A1(1Jp=1JPp1Rs(Pp1)H)A1H=A1RsmoothA1HRsmooth=1Jp=1JPp1Rs(Pp1)H.

Можно показать, что диагональные элементы сглаживавшей исходной ковариационной матрицы совпадают с диагональными элементами ковариационной матрицы первоисточника.

Riismooth=1Jp=1J(Pp1)im(Rs)mn(Pp1)niH=1Jp=1JRs=(Rs)ii

Однако недиагональные элементы уменьшаются. Фактором сокращения является диаграмма направленности J - массив элемента.

Rijsmooth=1Jp=1Jeikd(p1)(cosφ1cosφ2)(Rs)ij=1Jsin(kdJ(cosφ1cosφ2))sin(kd(cosφ1cosφ2))(Rs)ij

Таким образом, можно уменьшать ухудшающийся эффект исходной корреляции путем формирования подмассивов и использования сглаживавшей ковариационной матрицы, как введено для алгоритма MUSIC. Из-за диаграммы направленности большее угловое разделение источников приводит к уменьшаемой корреляции.

Пространственное сглаживание для линейных матриц легко расширено к 2D и 3D универсальным массивам.

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте