Внедрение фильтра

Свертка и фильтрация

Математическая основа фильтрации является сверткой. Для фильтра конечной импульсной характеристики (FIR) выход y (k) операции фильтрации является сверткой входного сигнала x (k) с импульсной характеристикой h (k):

$y (k) = \sum_{l = - \infty}^{\infty} h (l) x (k - l) .$

Если входной сигнал имеет также конечную длину, можно реализовать операцию фильтрации с помощью MATLAB^® conv функция. Например, чтобы отфильтровать случайный вектор с пятью выборками с фильтром усреднения третьего порядка, можно сохранить x (k) в векторном x, h (k) в векторном h, и примените операцию свертки к двум:

x = randn(5,1);
h = [1 1 1 1]/4;   % A third-order filter has length 4
y = conv(h,x)

Длина y тот меньше, чем сумма длин x и h.

Фильтры и передаточные функции

Передаточной функцией фильтра является Z-преобразование своей импульсной характеристики. Для КИХ-фильтра Z-преобразование выхода y, Y (z), является продуктом передаточной функции и X (z), Z-преобразование входа x:

$Y (z) = H (z) X (z) = (h (1) + h (2) z^{- 1} + \dots + h (n + 1) z^{- n}) X (z) .$

Полиномиальные коэффициенты h (1), h (2), …, h (n + 1) соответствуют коэффициентам импульсной характеристики фильтра th-порядка n.

Примечание

Содействующие индексы фильтра, запущенные от 1 до (n + 1), а не от 0 до n. Это отражает стандартную схему индексации, используемую в векторах MATLAB.

КИХ-фильтры также называются все-нулем, нерекурсивными фильтрами, или скользящего среднего значения (MA).

Для фильтра бесконечной импульсной характеристики (IIR) передаточная функция не является полиномом, а рациональной функцией. Z-преобразования сигналов ввода и вывода связаны

$Y (z) = H (z) X (z) = \frac{b (1) + b (2) z^{- 1} + ... + b (n + 1) z^{- n}}{a (1) + a (2) z^{- 1} + ... + a (m + 1) z^{- m}} X (z),$

где b (i) и a (i) является коэффициентами фильтра. В этом случае порядок фильтра является максимумом n и m. БИХ-фильтры с n = 0 также называются все-полюсом, рекурсивным, или авторегрессивным (AR) фильтры. БИХ-фильтры и с n и с m, больше, чем нуль, также называются нулем полюса, рекурсивное, или авторегрессивное скользящее среднее значение (ARMA) фильтры. AR акронимов, MA и ARMA обычно применяются к фильтрам, сопоставленным с отфильтрованными стохастическими процессами.

Фильтрация с `filter` Функция

Для БИХ-фильтров операция фильтрации описана не простой сверткой, а разностным уравнением, которое может быть найдено от отношения передаточной функции. Примите, что a (1) = 1, переместите знаменатель в левую сторону и возьмите обратное Z-преобразование, чтобы получить

$y (k) + a (2) y (k - 1) + \dots + a (m + 1) y (k - m) = b (1) x (k) + b (2) x (k - 1) + \dots + b (n + 1) x (k - n) .$

В терминах текущих и прошлых входных параметров, и мимо выходных параметров, y (k)

$y (k) = b (1) x (k) + b (2) x (k - 1) + \dots + b (n + 1) x (k - n) - a (2) y (k - 1) - \dots - a (m + 1) y (k - m),$

который является стандартным представлением временного интервала цифрового фильтра. Начиная с y (1) и принятие причинной системы с нулевыми начальными условиями, представление эквивалентно

$\begin{array}{l} y (1) = b (1) x (1) \\ y (2) = b (1) x (2) + b (2) x (1) - a (2) y (1) \\ y (3) = b (1) x (3) + b (2) x (2) + b (3) x (1) - a (2) y (2) - a (3) y (1) \\ ⋮ \\ y (n) = b (1) x (n) + \dots + b (n) x (1) - a (2) y (n - 1) - \dots - a (n) y (1) . \end{array}$

Чтобы реализовать эту операцию фильтрации, можно использовать filter MATLAB функция. filter хранит коэффициенты в двух векторах-строках, один для числителя и один для знаменателя. Например, чтобы решить разностное уравнение

$y (n) - 0.9 y (n - 1) = x (n) \Rightarrow Y (z) = \frac{1}{1 - 0.9 z^{- 1}} X (z) = H (z) X (z),$

можно использовать

b = 1;
a = [1 -0.9];
y = filter(b,a,x);

filter дает вам столько же выходных выборок, сколько существуют входные выборки, то есть, длина y совпадает с длиной x. Если первый элемент a не 1, то filter делит коэффициенты на a (1) прежде, чем реализовать разностное уравнение.

Документация