Оценка средней степени, поставленной ветряным двигателем

Скрипт Open Live Script

Этот пример использует Symbolic Math Toolbox и Statistics and Machine Learning Toolbox, чтобы исследовать и вывести параметрическое аналитическое выражение для средней энергии, произведенной ветряным двигателем.

Параметрическое уравнение может использоваться в оценке различных настроек ветряного двигателя и сайтов ветровой электростанции. Больше информации видит Оценку Ресурса Ветра.

Фон

Общая степень, поставленная ветряному двигателю, может быть оценена путем взятия производной кинетической энергии ветра. Это приводит к следующему выражению:

$P_{w} = \frac{ρ {A u}^{3}}{2}$ (1)

A является развернутой областью турбинных лопаток, в $m^{2}$
ρ = воздушная плотность, в $kg / m^{3}$
u = скорость ветра, в $m / s$

Процесс преобразования энергии ветра к электроэнергии приводит к потерям КПД, как описано в схеме ниже.

Электроэнергия выход практического ветряного двигателя может быть описана с помощью следующего уравнения:

$P_{e} = \frac{C_{tot} ρ {Au}^{3}}{2}$ (2) где $C_{tot} = overall efficiency = C_{p} C_{t} C_{g}$

Полный КПД между 0,3 и 0.5 и меняется и в зависимости от скорости ветра и в зависимости от скорости вращения турбины. Для фиксированной скорости вращения существует расчетная скорость ветра, на которой электроэнергия, сгенерированная ветряным двигателем, около его максимума ( $P_{er}$ ), и полный КПД в этой точке обозначается $C_{totR}$ .

$P_{er} = \frac{C_{totR} ρ {Au}^{3}}{2}$ (3)

Принимая фиксированную скорость вращения, электроэнергия выход ветряного двигателя может быть оценен с помощью следующего профиля:

Где

$u_{r}$ = расчетная скорость ветра
$u_{c}$ = скорость врезания, скорость, на которой электроэнергия вывела повышения выше нуля и выработку энергии, запускаются
$u_{f}$ = сворачивая скорость ветра, скорость, на которой турбина закрывается, чтобы предотвратить структурное повреждение

Как замечено в фигуре, мы принимаем, что выходная мощность увеличивается между uc и вашим, затем в постоянном максимальном значении между $u_{r}$ и $u_{f}$ . Выходная мощность является нулем для всех других условий.

Выведите уравнение для средней степени ветряного двигателя

I. Задайте кусочное выражение для степени

Мы задаем кусочно-линейную функцию, которая описала турбинную степень.

syms Per C_1 C_2 k u u_c u_f u_r 
Pe = piecewise(u < u_c, 0, u_c <= u <= u_r, C_1 + C_2 * u^k, (u_r <= u) <= u_f, Per, u_f < u, 0)

Pe = 
 ${\begin{array}{cl} 0 & если u < u_{c} \\ C_{1} + C_{2} u^{k} & если u_{c} \leq u \land u \leq u_{r} \\ Per & если u \leq u_{f} \land u_{r} \leq u \\ 0 & если u_{f} < u \end{array}$

Где переменные $C_{1}$ и $C_{2}$ определяются следующим образом:

C_1 = (Per * u_c^k)/(u_c^k - u_r^k)

C_1 = 
 $\frac{Per {u_{c}}^{k}}{{u_{c}}^{k} - {u_{r}}^{k}}$

C_2 = Per/(u_r^k - u_c^k)

C_2 = 
 $- \frac{Per}{{u_{c}}^{k} - {u_{r}}^{k}}$

II. Задайте внешние условия ветра

Номинальная мощность вывела, предлагает хорошую индикацию относительно, сколько степени ветряной двигатель способен к созданию, однако мы хотели бы оценить, сколько степени (в среднем) ветряной двигатель на самом деле поставит. Чтобы вычислить среднюю степень, мы должны объяснить внешние условия ветра. Распределение Weibull делает хорошее задание при моделировании отклонения на ветру, поэтому профиль ветра может быть оценен с помощью следующей функции плотности вероятности:

$f (u) = \frac{(\frac{b}{a}) {(\frac{u}{a})}^{b - 1}}{e^{{(\frac{u}{a})}^{b}}}$ (4)

В общем случае больше значения указывают на более высокую среднюю скорость ветра, и большие 'b' значения указывают на уменьшаемую изменчивость.

Мы используем Statistics and Machine Learning Toolbox, чтобы сгенерировать распределение Weibull и проиллюстрировать изменчивость на ветру на нашем сайте ветровой электростанции (a=12.5, b=2.2):

a = 12.5;
b = 2.2;
N = 1000;
pd = makedist('Weibull','a',a,'b',b)

pd = 
  WeibullDistribution

  Weibull distribution
    A = 12.5
    B =  2.2

r = wblrnd(a,b,[1 N])

r = 1×1000

    6.0811    4.3679   17.3751    4.1966    8.7677   18.3517   13.9761    9.9363    3.0039    2.7496   16.5233    2.5333    3.0151   10.7854    6.3169   16.9442   11.6922    4.1418    6.4460    2.9379    8.4449   21.6033    5.4887    3.6903    8.1241    6.9789    7.1974   12.1293    8.4485   16.1833    7.7371   21.9390   14.0043   20.8297   18.3668    5.9351    7.8970   13.3122    3.2335   21.7093   11.4461   12.2905    6.8609    6.3983   15.8128   10.7241   11.3478    8.5754    7.6896    7.0249

x = linspace(0,34,N);
y = pdf(pd,x);
plot(x,y,'LineWidth',2)
hold on 
histogram(r,15,'Normalization','pdf')
hold off
title('Weibull Distribution of Wind Speeds')
xlabel('Wind Speed (m/s)')

III. Вычислите среднюю степень

Средняя выходная мощность от ветряного двигателя может быть получена с помощью следующего интеграла:

$P e_{a v e r a g e} = \int_{0}^{\infty} P e (u) f (u) d u$ (5)

Степень является нулем, когда скорость ветра меньше сокращения скорости ветра $u_{c}$ и больше, чем сворачивание скорости ветра $u_{f}$ . Поэтому интеграл может быть выражен можно следующим образом:

$P e_{a v e r a g e} = C_{1} (\int_{u_{c}}^{u_{r}} f (u) d u) + C_{2} (\int_{u_{c}}^{u_{r}} u^{b} f (u) d u) + P e r (\int_{u_{r}}^{u_{f}} f (u) d u)$ (6)

Существует два отличных интеграла в уравнении (7). Мы включаем уравнение (4) в эти интегралы и упрощаем их использующий замены: $x = {(\frac{u}{a})}^{b}$ и $d x = (\frac{b}{a}) {(\frac{u}{a})}^{b - 1} d u$ . Это упрощает наши исходные интегралы до следующего:

$\int f (u) d u = \int \frac{1}{e^{x}} d x$ (7)

$\int u^{b} f (u) d u = a^{b} (\int \frac{x}{e^{x}} d x)$ (8)

Решение этих интегралов и затем заменяющий x с ${(\frac{u}{a})}^{b}$ урожаи:

syms a b x
int1 = int(exp(-x), x);
int1 = subs(int1, x, (u/a)^b)

int1 = 
 $- e^{- {(\frac{u}{a})}^{b}}$

int2 = int(x * exp(-x) * a^b, x);
int2 = subs(int2, x, (u/a)^b)

int2 = 
 $- a^{b} e^{- {(\frac{u}{a})}^{b}} ({(\frac{u}{a})}^{b} + 1)$

Замена результатами в уравнение (6) урожаи уравнение для средней выходной мощности ветряного двигателя.

Peavg = subs(C_1 * int1, u, u_r) - subs(C_1 * int1, u, u_c) + subs(C_2 * int2, u, u_r) - subs(C_2 * int2, u, u_c) + subs(Per * int1, u, u_f) - subs(Per * int1, u, u_r)

Peavg = 
 $\begin{array}{l} Per σ_{2} - Per e^{- {(\frac{u_{f}}{a})}^{b}} + \frac{Per {u_{c}}^{k} e^{- {(\frac{u_{c}}{a})}^{b}}}{σ_{1}} - \frac{Per {u_{c}}^{k} σ_{2}}{σ_{1}} - \frac{Per a^{b} e^{- {(\frac{u_{c}}{a})}^{b}} ({(\frac{u_{c}}{a})}^{b} + 1)}{σ_{1}} + \frac{Per a^{b} σ_{2} ({(\frac{u_{r}}{a})}^{b} + 1)}{σ_{1}} \\ where \\ σ_{1} = {u_{c}}^{k} - {u_{r}}^{k} \\ σ_{2} = e^{- {(\frac{u_{r}}{a})}^{b}} \end{array}$

IV. Заключение

Мы использовали Symbolic Math Toolbox, чтобы разработать параметрическое уравнение, которое может использоваться, чтобы выполнить исследования симуляции, чтобы определить среднюю энергию, произведенную для различных настроек ветряного двигателя и сайтов ветровой электростанции.

Документация