В этом примере показано, как вычислить инверсию Гильбертовой матрицы с помощью Symbolic Math Toolbox™.
Определение: Гильбертова матрица является квадратной матрицей с записями, являющимися модульной частью. . Например, 3x3
Гильбертова матрица
Символьные расчеты дают точные результаты для этих плохо обусловленных матриц, в то время как чисто численные методы перестали работать.
Создайте 20 20 числовую Гильбертову матрицу.
H = hilb(20);
Найдите число обусловленности этой матрицы. Гильбертовы матрицы плохо обусловлены, означая, что у них есть большие числа обусловленности, указывающие, что такие матрицы почти сингулярны. Обратите внимание на то, что вычислительные числа обусловленности также подвержены числовым ошибкам.
cond(H)
ans = 2.1211e+18
Поэтому инвертирование Гильбертовых матриц численно неустойчиво. Когда вы вычисляете обратную матрицу, H*inv(H)
должен возвратить единичную матрицу или матрицу близко к единичной матрице в некотором допуске на погрешность.
Во-первых, вычислите инверсию H
при помощи inv
функция. Предупреждение выдано из-за числовой нестабильности.
H*inv(H)
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.549910e-19.
ans = 20×20
1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0024 -0.0156 0.0625 0.0312 -0.2500 0.8320 0 0.0312 1.3750 0.1250 -0.3438 -0.8750 -0.5000 0 0 -1.2500 0
-0.1868 1.0000 -0.0001 -0.0024 0.0273 0.0781 -0.5625 -0.5625 -1.0273 0.3125 -0.4082 -0.6250 3.3750 -0.4219 0.5000 -0.1250 -2.0000 1.5000 -1.7500 -0.1250
-0.2244 0.0051 1.0001 -0.0054 0.0273 0.0625 -0.1562 0.8750 -1.0781 0.2500 -0.1113 1.8750 1.7500 0.6250 0.1250 -2.8750 -2.0000 -0.5000 0.7500 0.6875
-0.2236 -0.0412 0.0613 0.9985 0.0273 0.0625 0.3438 -0.2500 0.2637 0.3750 -0.8867 1.2500 -1.5000 -0.3906 -0.8750 0.5000 -3.0000 1.0000 3.5000 -0.0625
-0.2112 -0.1026 0.1511 -0.0222 1.0273 0.1250 0.0938 0.1250 0.7441 -0.5625 -0.2285 0.1250 0.7500 -1.7188 0.3125 -2.0000 -3.5000 -2.0000 1.5000 -0.5000
-0.1962 -0.1541 0.1993 0.0381 -0.0254 0.9531 0.0625 0.2500 -1.0879 -0.8125 -0.1777 -0.6250 -0.6250 -0.4688 -0.6875 -3.5000 0.2500 0.5000 0 0.7500
-0.1815 -0.1888 0.1856 0.2017 -0.1602 0.0781 0.6250 1.3125 0.5137 0.8750 0.4668 2.2500 -2.2500 -0.6562 0.9375 -2.7500 0 2.0000 1.5000 -0.3125
-0.1681 -0.2076 0.1196 0.4419 -0.3184 -0.2344 0.7812 0.4375 0.5254 0.5625 -0.0957 -0.6250 -0.1250 -1.0000 -1.4375 2.0000 -5.5000 2.7500 0.2500 0.4688
-0.1563 -0.2138 0.0152 0.7461 -0.5840 0.0312 -0.2500 1.3438 -0.2051 2.3125 0.0449 1.3750 -8.0000 2.4922 2.8750 -5.0000 3.0000 -1.2500 1.7500 0.0938
-0.1460 -0.2108 -0.1120 1.0696 -0.7773 0.0781 0.2500 -0.1250 0.8945 0.3125 -0.4688 1.5000 -5.0000 -1.1953 2.0625 -2.5625 2.2500 -1.7500 0.5000 0.1250
⋮
Теперь используйте MATLAB® invhilb
функция, которая предлагает лучшую точность для Гильбертовых матриц. Эта функция находит точные инверсии Гильбертовых матриц до 15 15. Для 20 20 Гильбертовой матрицы, invhilb
находит приближение обратной матрицы.
H*invhilb(20)
ans = 20×20
1010 ×
0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0003 0.0027 -0.0113 -0.0526 -0.1057 0.3087 0.3288 -0.3020 -7.1001 1.5435 4.8989 -0.1242 -0.0319 0.1770 0.0029
-0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0015 0.0114 -0.0749 0.2441 -0.2819 3.6574 -4.3487 -1.2214 -4.3218 7.4826 -2.6407 0.8623 -0.0776 0.0029
0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0003 -0.0005 -0.0029 0.0180 -0.1460 -0.5184 1.0100 0.2483 -6.2948 -4.8050 5.7982 -1.0939 0.3758 0.0495 -0.0033
0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0012 0.0152 -0.0434 -0.1653 -0.2097 2.0099 -2.7850 -3.4360 0.9328 5.2613 -1.8220 0.6610 -0.0126 -0.0050
-0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0007 0.0127 -0.1088 0.1946 -0.4312 1.4630 -2.5032 -2.9998 1.2885 6.0666 -1.9898 0.3238 -0.0839 0.0045
0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0002 0.0003 -0.0044 0.0231 0.0562 0 0.5838 -0.5302 -3.7447 4.9325 2.3287 -1.3220 -0.1242 0.1323 -0.0138
-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0001 -0.0003 0.0170 -0.0938 0.0721 -0.5335 3.4326 -5.1540 -1.0536 0.5570 7.6974 -1.5234 0.2382 -0.1527 -0.0038
0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0003 0.0024 -0.0078 0.0091 -0.2278 0.5872 0.3792 0.7046 -4.3151 3.8319 -0.5369 0.1745 -0.0042 0.1141 -0.0141
-0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0006 0.0113 -0.0708 0.1850 -0.7147 2.1643 -1.7851 -3.5970 -0.0201 4.1607 -1.3925 0.5637 -0.0497 0.0036
0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0001 0.0023 -0.0149 -0.0679 0.3087 0.1074 -0.1745 -4.3218 0.8925 3.9259 -0.7986 0.2533 0.0455 -0.0091
⋮
Чтобы избежать ошибок округления, используйте точные символьные расчеты. Для этого создайте символьную Гильбертову матрицу.
Hsym = sym(H)
Hsym =
Получите значение числа обусловленности. Это было выведено символьными методами и свободно от числовых ошибок.
vpa(cond(Hsym))
ans =
Несмотря на то, что его число обусловленности является большим, можно вычислить точную инверсию матрицы.
Hsym*inv(Hsym)
ans =