Конические секторы

В его самой простой форме конический сектор является 2D областью, разграниченной двумя линиями, $$y=au$$ и $$y=bu$$.

Теневая область характеризуется неравенством $$(y-au)(y-bu)<0$$. В более общем плане любой такой сектор может быть параметрирован как:

где $$Q$$ 2x2 симметричная неопределенная матрица ($$Q$$ имеет одно положительное и одно отрицательное собственное значение). Мы вызываем $$Q$$ матрица сектора. Эта концепция делает вывод к более высоким размерностям. В N-мерном пространстве конический сектор является набором:

где $$Q$$ снова симметричная неопределенная матрица.

Границы сектора

Границы сектора являются ограничениями на поведение системы. Получите ограничения, и ограничения пассивности являются особыми случаями границ сектора. Если для всех ненулевых входных траекторий $$u(t)$$, выходная траектория $$z(t)=(Hu)(t)$$ из линейной системы $$H(s)$$ удовлетворяет:

затем выходные траектории $$H$$ лгите в коническом секторе с матрицей $$Q$$. Отличающийся выбор $$Q$$ матрицы налагают различные условия на ответ системы. Например, рассмотрите траектории $$y(t)=(Gu)(t)$$ и следующие значения:

Эти значения соответствуют связанному сектору:

Этот связанный сектор эквивалентен условию пассивности для $$G(s)$$:

Другими словами, пассивность является конкретным сектором, привязал систему, заданную:

Условие частотного диапазона

Поскольку условие временного интервала должно содержать для всех $$T>0$$, получение эквивалентного связанного частотного диапазона проявляет немного заботы и не всегда возможно. Позвольте следующему:

будьте (любым) разложением неопределенной матрицы $$Q$$ в его положительные и отрицательные части. Когда $$W_2^{T}H(s)$$ квадратная и минимальная фаза (не имеет никаких нестабильных нулей), условие временного интервала:

эквивалентно условию частотного диапазона:

Поэтому достаточно проверять неравенство сектора на действительные частоты. Используя разложение $$Q$$, это также эквивалентно:

Обратите внимание на то, что $$W_2^{T}H$$ является квадратным когда $$Q$$ имеет столько же отрицательных собственных значений, сколько вход образовывает канал в $$H(s)$$. Если это условие не соблюдают, это больше не достаточно (в целом), чтобы только посмотреть на действительные частоты. Отметьте также это если $$W_2^{T}H(s)$$ является квадратным, затем это должна быть минимальная фаза для сектора, обязанного содержать.

Эта характеристика частотного диапазона является основанием для sectorplot. А именно, sectorplot строит сингулярные значения $$(W_1^{T}H(j\omega ))(W_2^{T}H(j\omega ){)}^{-1}$$ как функция частоты. Связанному сектору удовлетворяют, если и только если самое большое сингулярное значение остается ниже 1. Кроме того, график содержит полезную информацию о диапазонах частот, где связанному сектору удовлетворяют или нарушают, и степень, до которой этому удовлетворяют или нарушают.

Например, исследуйте график сектора системы с 2 входами, с 2 выходами для конкретного сектора.

rng(4,'twister');
H = rss(3,4,2); 
Q = [-5.12   2.16  -2.04   2.17
      2.16  -1.22  -0.28  -1.11
     -2.04  -0.28  -3.35   0.00
      2.17  -1.11   0.00   0.18];
sectorplot(H,Q)

График показывает что самое большое сингулярное значение $$(W_1^{T}H(j\omega ))(W_2^{T}H(j\omega ){)}^{-1}$$ превышает 1 ниже приблизительно 0,5 рад/с и в узкой полосе приблизительно 3 рад/с. Поэтому H не удовлетворяет сектору, связанному представленный Q.

Относительный индекс сектора

Мы можем расширить понятие относительного индекса пассивности к произвольным секторам. Пусть $$H(s)$$ будьте системой LTI, и позвольте:

будьте ортогональным разложением $$Q$$ в его положительные и отрицательные части, как с готовностью получен из разложения Шура $$Q$$. Относительный индекс сектора $$R$$, или R-индекс, задан как самое маленькое $$r>0$$ таким образом это для всех выходных траекторий $$z(t)=(Hu)(t)$$:

Поскольку увеличение $$r$$ делает $$W_1^T{W}_1-r^2{W}_2^T{W}_2$$ более отрицательный, для неравенства обычно удовлетворяют $$r$$ достаточно большой. Однако существуют случаи, когда этому никогда нельзя удовлетворять, в этом случае R-индекс $$R=+\infty$$. Безусловно, исходному связанному сектору удовлетворяют если и только $$R\le 1$$.

Чтобы изучить геометрическую интерпретацию R-индекса, рассмотрите семейство конусов с матрицей $$Q(r)=W_1^T{W}_1-r^2{W}_2^T{W}_2$$. В 2D, коническом наклонном углу $$\theta$$ связан с $$r$$

(см. схему ниже). В более общем плане, $$\tan (\theta )$$ пропорционально $$R$$. Таким образом, учитывая конический сектор с матрицей $$Q$$, значение R-индекса $$R<1$$ средние значения, которые мы можем уменьшать $$\tan (\theta )$$ (сузьте конус) фактором $$R$$ перед некоторой выходной траекторией $$H$$ покидает конический сектор. Точно так же значение $$R>1$$ средние значения, которые мы должны увеличить $$\tan (\theta )$$ (расширьте конус) фактором $$R$$ включать все выходные траектории $$H$$. Это ясно делает R-индекс относительной мерой как хорошо ответ $$H$$ помещается в конкретный конический сектор.

В схеме,

и

Когда $$W_2^{T}H(s)$$ квадратная и минимальная фаза, R-индекс может также быть охарактеризован в частотном диапазоне как самое маленькое $$r>0$$ таким образом, что:

Используя элементарную алгебру, это приводит к:

Другими словами, R-индекс является пиковым усилением (устойчивой) передаточной функции $$\Phi (s):=(W_1^{T}H(s))(W_2^{T}H(s){)}^{-1}$$, и сингулярные значения $$\Phi (jw)$$ могите рассматриваться как "основные" R-индексы на каждой частоте. Это также объясняет, почему графический вывод R-индекса по сравнению с частотой похож на график сингулярного значения (см. sectorplot). Существует полная аналогия между относительным индексом сектора и системным усилением. Обратите внимание, однако, что эта аналогия только содержит когда $$W_2^{T}H(s)$$ квадратная и минимальная фаза.

Направленный индекс сектора

Точно так же мы можем расширить понятие направленного индекса пассивности к произвольным секторам. Учитывая конический сектор с матрицей $$Q$$, и направление $$\delta Q$$, направленный индекс сектора является самым большим $$\tau$$ таким образом это для всех выходных траекторий $$z(t)=(Hu)(t)$$:

Направленная пассивность индексирует для системы $$G(s)$$ соответствует:

Направленный сектор индексирует меры тем, насколько мы должны деформировать сектор в направлении $$\delta Q$$ заставить его соответствовать плотно вокруг выходных траекторий $$H$$. Связанному сектору удовлетворяют, если и только если направленный индекс положителен.

Общие секторы

Существует много способов задать границы сектора. Затем мы рассматриваем выражения, с которыми обычно сталкиваются, и даем соответствующую систему $$H$$ и матрица сектора $$Q$$ для стандартной формы, используемой getSectorIndex и sectorplot:

Для простоты эти описания используют обозначение:

и не используйте $$\forall T>0$$ требование.

Пассивность

Пассивность является сектором, связанным с:

Получите ограничение

Ограничение усиления $${\Vert G\Vert }_{\infty }<\gamma$$ сектор, связанный с:

Отношение расстояний

Рассмотрите "внутреннее" ограничение,

где $$c,r$$ скаляры и $$y(t)=(Gu)(t)$$. Это - сектор, связанный с:

Базовый конический сектор симметричен относительно $$y=cu$$. Точно так же "внешнее" ограничение,

сектор, связанный с:

Двойное неравенство

При контакте со статической нелинейностью распространено рассмотреть конические секторы формы

где $$y=\varphi (u)$$ нелинейность выход. В то время как это отношение не является сектором, связанным по сути, оно ясно подразумевает:

вдоль всех траекторий ввода-вывода и для всех $$T>0$$. Это условие в свою очередь эквивалентно сектору, связанному с:

Форма продукта

Обобщенные границы сектора формы:

соответствуйте:

Как прежде, статический сектор связал:

подразумевает интегральный сектор, связанный выше.

Диссипативный QSR

Система $$y=Gu$$ QSR-диссипативно, если это удовлетворяет:

Это - сектор, связанный с: