Теория оптимизации портфеля

Задачи оптимизации портфеля

Задачи оптимизации портфеля включают портфели идентификации, которые удовлетворяют трем критериям:

Минимизируйте прокси для риска.
Совпадайте или превысьте прокси для возврата.
Удовлетворите основным требованиям выполнимости.

Портфели являются точками от выполнимого набора активов, которые составляют вселенную актива. Портфель задает или активы или веса в каждом отдельном активе во вселенной актива. Соглашение состоит в том, чтобы задать портфели в терминах весов, несмотря на то, что инструменты оптимизации портфеля работают с активами также.

Набор выполнимых портфелей является обязательно непустым, закрытым и ограниченным множеством. Прокси для риска является функцией, которая характеризует или изменчивость или потери, сопоставленные с выбором портфеля. Прокси для возврата является функцией, которая характеризует или грубую или чистую прибыль, сопоставленную с выбором портфеля. Условия “риск” и “риск проксируют” и “возвращаются”, и “возвращаются, прокси” являются взаимозаменяемыми. Основное понимание Markowitz (см. Оптимизацию Портфеля) - то, что цель проблемы выбора портфеля состоит в том, чтобы искать минимальный риск для данного уровня возврата и искать максимальный возврат для данного уровня риска. Портфели, удовлетворяющие этим критериям, являются эффективными портфелями и графиком рисков, и возвращается из этих форм портфелей, кривая вызвала efficient frontier.

Проблемная спецификация портфеля

Чтобы задать задачу оптимизации портфеля, вам нужно следующее:

Прокси для портфеля возвращается (μ)
Прокси для портфельного риска (Σ)
Набор выполнимых портфелей (X), названный портфелем, установлен

Financial Toolbox™ имеет три объекта решить определенные типы задач оптимизации портфеля:

Portfolio оптимизация портфеля среднего отклонения поддержки объектов (см. Markowitz [46], [47] при Оптимизации Портфеля). Этот объект имеет или грубый или сетевой портфель, возвращается как прокси возврата, отклонение портфеля возвращается как прокси риска и набор портфеля, который является любой комбинацией заданных ограничений, чтобы сформировать набор портфеля.
PortfolioCVaR возразите реализациям, что известно как условную подверженную риску значения оптимизацию портфеля (см. Рокэфеллэра и Урясева [48], [49] при Оптимизации Портфеля), который обычно упоминается как оптимизация портфеля CVaR. Оптимизация портфеля CVaR работает с тем же самым, возвращают прокси и наборы портфеля как оптимизация портфеля среднего отклонения, но использует условное выражение, подверженное риску значения из портфеля, возвращается как прокси риска.
PortfolioMAD возразите реализациям, что известно как среднюю абсолютную оптимизацию портфеля отклонения (см. Конно и Иамазаки [50] при Оптимизации Портфеля), который обычно упоминается как оптимизация портфеля MAD. Оптимизация портфеля MAD работает с тем же самым, возвращают прокси и наборы портфеля как оптимизация портфеля среднего отклонения, но использует средний абсолютный портфель отклонения, возвращается как прокси риска.

Возвратите прокси

Прокси для возврата портфеля является функцией $μ : X \to R$ на наборе портфеля $X \subset R^{n}$ это характеризует вознаграждения, сопоставленные с выбором портфеля. Обычно, прокси для портфеля возвращаются, имеет две общих формы, грубый и сетевой портфель возвращается. Оба портфеля возвращают формы, отдельные безрисковый уровень r ₀ так, чтобы портфель $x \in X$ содержит только опасные активы.

Независимо от базового распределения актива возвращается, набор актива S возвращает _y1..., _yS имеет среднее значение актива, возвращается

$m = \frac{1}{S} \sum_{s = 1}^{S} y_{s},$

и (демонстрационная) ковариация актива возвращается

$C = \frac{1}{S - 1} \sum_{s = 1}^{S} (y_{s} - m) {(y_{s} - m)}^{T} .$

В эти моменты (или альтернативные средства оценки, которые характеризуют в эти моменты) используются непосредственно в оптимизации портфеля среднего отклонения, чтобы сформировать прокси для портфельного риска и возвратиться.

Грубый портфель возвращается

Грубый портфель возвращается для портфеля $x \in X$

$μ (x) = r_{0} + {(m - r_{0} 1)}^{T} x,$

где:

r ₀ является безрисковым уровнем (скаляр).

m является средним значением актива, возвращается (вектор n).

Если веса портфеля суммируют к 1, безрисковый уровень не важен. Свойства в Portfolio объект задать грубые возвраты портфеля:

RiskFreeRate для _r0
AssetMean для m

Сетевой портфель возвращается

Сетевой портфель возвращается для портфеля $x \in X$

$μ (x) = r_{0} + {(m - r_{0} 1)}^{T} x - b^{T} \max {0, x - x_{0}} - s^{T} \max {0, x_{0} - x},$

где:

r ₀ является безрисковым уровнем (скаляр).

m является средним значением актива, возвращается (вектор n).

b является пропорциональной стоимостью, чтобы купить активы (вектор n).

s является пропорциональной стоимостью, чтобы продать активы (вектор n).

Можно включить зафиксированные операционные издержки в эту модель также. Хотя в этом случае, необходимо включить цены в такие затраты. Свойства в Portfolio объект задать сетевые возвраты портфеля:

RiskFreeRate для r ₀
AssetMean для m
InitPort для x ₀
BuyCost для b
SellCost для s

Прокси риска

Прокси для портфельного риска является функцией $σ : X \to R$ на наборе портфеля $X \subset R^{n}$ это характеризует риски, сопоставленные с выбором портфеля.

Дисперсия

Отклонение портфеля возвращается для портфеля $x \in X$

$V a r i a n c e (x) = x^{T} C x$

то, где C является ковариацией актива, возвращается (n- n положительно-полуопределенная матрица).

Свойство в Portfolio объектом задать отклонение возвратов портфеля является AssetCovar для C.

Несмотря на то, что прокси риска в оптимизации портфеля среднего отклонения является отклонением портфеля, возвращается, квадратный корень, который является стандартным отклонением портфеля, возвращается, часто сообщается и отображается. Кроме того, это количество часто называется “риском” портфеля. Для получения дополнительной информации смотрите Markowitz [46], [47] в (Оптимизация Портфеля).

Подверженное риску значения условное выражение

Условное выражение, подверженное риску значения портфеля $x \in X$ , то, которое также известно как ожидаемый недостаток, задано как

$C V a R_{α} (x) = \frac{1}{1 - α} \int_{f (x, y) \geq V a R_{α} (x)} f (x, y) p (y) d y,$

где:

α является уровнем вероятности, таким образом что 0< α < 1 .

f(x,y) является функцией потерь для портфеля, x и актив возвращают y.

p(y) является функцией плотности вероятности для актива, возвращают y.

_VaRα является подверженным риску значения из портфеля x на уровне вероятности α.

Подверженное риску значения задано как

$V a R_{α} (x) = \min {γ : \Pr [f (x, Y) \leq γ] \geq α} .$

Альтернативная формулировка для CVaR имеет форму:

$C V a R_{α} (x) = V a R_{α} (x) + \frac{1}{1 - α} \int_{R^{n}} \max {0, (f (x, y) - V a R_{α} (x))} p (y) d y$

Выбор для уровня вероятности α обычно 0.9 или 0.95. Выбор α подразумевает, что подверженный риску значения _VaRα(x) для портфеля, x является портфелем, возвращается таким образом, что вероятность портфеля возвращается, падение ниже этого уровня (1 – α). Учитывая _VaRα(x) для портфеля x, условное выражение, подверженное риску значения из портфеля, является ожидаемой потерей портфеля, возвращается выше подверженного риску значения возврата.

Примечание

Подверженный риску значения положительное значение за потери так, чтобы уровень вероятности, α указывает на вероятность, что возвраты портфеля ниже отрицания подверженного риску значения.

Описать вероятностное распределение возвратов, PortfolioCVaR возразите берет конечную выборку сценариев возврата y _s, с s = 1S. Каждый _s y является вектором n, который содержит возвраты для каждого из активов n согласно сценарию s. Эта выборка сценариев S хранится как матрица сценария размера S-by-n. Затем риск проксируют для оптимизации портфеля CVaR, для данного портфеля $x \in X$ и $α \in (0, 1)$ , вычисляется как

$C V a R_{α} (x) = V a R_{α} (x) + \frac{1}{(1 - α) S} \sum_{s = 1}^{S} \max {0, - y_{s}^{T} x - V a R_{α} (x)}$

Подверженный риску значения, VaR _α (x), оценивается каждый раз, когда CVaR оценивается. Функция потерь $f (x, y_{s}) = - y_{s}^{T} x$ , который является потерей портфеля согласно сценарию s.

В соответствии с этим определением, VaR и CVaR являются демонстрационными средствами оценки для VaR и CVaR на основе данных сценариев. Лучшие выборки сценария дают к более надежным оценкам VaR и CVaR.

Для получения дополнительной информации смотрите Рокэфеллэра и Урясева [48], [49], и Cornuejols и Tütüncü, [51], при Оптимизации Портфеля.

Mean-absolute-отклонение

Среднее абсолютное отклонение (MAD) для портфеля $x \in X$ задан как

$M A D (x) = \frac{1}{S} \sum_{s = 1}^{S} | {(y_{s} - m)}^{T} x |$

где:

_ys является активом, возвращает со сценариями s = 1... S (набор S векторов n).

f(x,y) является функцией потерь для портфеля, x и актив возвращают y.

m является средним значением актива, возвращается (вектор n).

таким образом, что

$m = \frac{1}{S} \sum_{s = 1}^{S} y_{s}$

Для получения дополнительной информации смотрите Конно и Иамазаки [50] при Оптимизации Портфеля.

Документация