В этом примере показано, как решить двойную задачу электростатики эластичности.
Пьезоэлектрические материалы деформируются под приложенным напряжением. С другой стороны деформация пьезоэлектрического материала производит напряжение. Поэтому анализ пьезоэлектрической части требует решения набора двойных дифференциальных уравнений с частными производными с отклонениями и электрическим потенциалом как зависимые переменные.
В этом примере модель является консольным лучом 2D слоя с обоими слоями, сделанными из того же polyvinylidene фторида (PVDF) материал. Направление поляризации указывает вниз (отрицательное направление Y) в верхнем слое и подчеркивает в нижнем слое. Типичная длина к отношению толщины равняется 100. Когда вы применяете напряжение между более низкими и верхними поверхностями луча, луч отклоняет в направлении Y, потому что один слой сокращается, и другой слой удлиняет.
Уравнения равновесия описывают эластичное поведение тела:
Здесь, тензор напряжения, и вектор массовой силы. Закон гаусса описывает электростатическое поведение тела:
электрическое смещение, и распространенный бесплатно заряд. Объедините эти две системы УЧП в эту единую систему:
Для 2D анализа, имеет компоненты и , и имеет компоненты и .
Конститутивные уравнения для материала задают тензор напряжения и электрический вектор смещения в терминах тензора деформации и электрического поля. Для 2D анализа ортотропика пьезоэлектрический материал при плоских условиях напряжения можно записать эти уравнения как
эластичные коэффициенты, электрическая проницаемость, и пьезоэлектрические коэффициенты напряжения. Пьезоэлектрические коэффициенты напряжения в этих уравнениях соответствуют обычному обозначению в пьезоэлектрических материалах, где z-направление (третье направление) выравнивается с "подпертым шестами" направлением материала. Для 2D анализа выровняйте "подпертое шестами" направление с осью Y. Запишите вектор деформации в терминах x-смещения и y-смещение :
Запишите электрическое поле в терминах электрического потенциала :
Можно заменить уравнениями смещения деформации и уравнениями электрического поля в конститутивные уравнения и получить систему уравнений для усилий и электрических смещений в терминах смещения и электрических потенциальных производных. Замена получившимися уравнениями в системные уравнения УЧП дает к системе уравнений, которые включают расхождение смещения и электрических потенциальных производных. Как следующий шаг, расположите эти уравнения, чтобы совпадать с формой, требуемой тулбоксом.
Partial Differential Equation Toolbox™ требует, чтобы система эллиптических уравнений была описана в векторной форме:
или в форме тензора:
где повторные индексы подразумевают суммирование. Для 2D пьезоэлектрической системы в этом примере, системном векторе
Это система. Градиент
Для получения дополнительной информации при определении коэффициентов в формате, требуемом тулбоксом, см.:
C коэффициент в этом примере является тензором. Можно представлять его как 3х3 матрицу блоков 2 на 2:
Чтобы сопоставить условия конститутивных уравнений к форме, требуемой тулбоксом, запишите c тензор и градиент решения в этой форме:
От этого уравнения можно сопоставить традиционные конститутивные коэффициенты с формой, требуемой для c матрицы. Знак "минус" в уравнениях для электрического поля включен в c матрицу, чтобы совпадать с соглашением тулбокса.
Создайте модель PDE. Уравнения линейной эластичности имеют три компонента, таким образом, модель должна иметь три уравнения.
model = createpde(3);
Создайте геометрию и включайте ее в модель.
L = 100e-3; % Beam length in meters H = 1e-3; % Overall height of the beam H2 = H/2; % Height of each layer in meters topLayer = [3 4 0 L L 0 0 0 H2 H2]; bottomLayer = [3 4 0 L L 0 -H2 -H2 0 0]; gdm = [topLayer;bottomLayer]'; g = decsg(gdm,'R1+R2',['R1';'R2']'); geometryFromEdges(model,g);
Постройте геометрию с метками ребра и поверхностью.
figure pdegplot(model,'EdgeLabels','on','FaceLabels','on') xlabel('X-coordinate, meters') ylabel('Y-coordinate, meters') axis([-.1*L,1.1*L,-4*H2,4*H2]) axis square
Задайте свойства материала слоев луча. Материал в обоих слоях является polyvinylidene фторидом (PVDF), термопластическим полимером с пьезоэлектрическим поведением.
E = 2.0e9; % Elastic modulus, N/m^2 NU = 0.29; % Poisson's ratio G = 0.775e9; % Shear modulus, N/m^2 d31 = 2.2e-11; % Piezoelectric strain coefficients, C/N d33 = -3.0e-11;
Задайте относительную электрическую проницаемость материала в постоянном напряжении.
relPermittivity = 12;
Задайте электрическую проницаемость вакуума.
permittivityFreeSpace = 8.854187817620e-12; % F/m
C11 = E/(1 - NU^2);
C12 = NU*C11;
c2d = [C11 C12 0; C12 C11 0; 0 0 G];
pzeD = [0 d31; 0 d33; 0 0];
Задайте пьезоэлектрические коэффициенты напряжения.
pzeE = c2d*pzeD; D_const_stress = [relPermittivity 0; 0 relPermittivity]*permittivityFreeSpace;
Преобразуйте диэлектрическую матрицу от постоянного напряжения до постоянной деформации.
D_const_strain = D_const_stress - pzeD'*pzeE;
Можно просмотреть этот 21 коэффициент как 3х3 матрицу блоков 2 на 2. cij матрицы являются блоками 2 на 2 в верхнем треугольнике этой матрицы.
c11 = [c2d(1,1) c2d(1,3) c2d(3,3)]; c12 = [c2d(1,3) c2d(1,2); c2d(3,3) c2d(2,3)]; c22 = [c2d(3,3) c2d(2,3) c2d(2,2)]; c13 = [pzeE(1,1) pzeE(1,2); pzeE(3,1) pzeE(3,2)]; c23 = [pzeE(3,1) pzeE(3,2); pzeE(2,1) pzeE(2,2)]; c33 = [D_const_strain(1,1) D_const_strain(2,1) D_const_strain(2,2)]; ctop = [c11(:); c12(:); c22(:); -c13(:); -c23(:); -c33(:)]; cbot = [c11(:); c12(:); c22(:); c13(:); c23(:); -c33(:)]; f = [0 0 0]'; specifyCoefficients(model,'m',0,'d',0,'c',ctop,'a',0,'f',f,'Face',2); specifyCoefficients(model,'m',0,'d',0,'c',cbot,'a',0,'f',f,'Face',1);
Установите напряжение (компонент решения 3) на верхней части луча (ребро 1) к 100 вольтам.
voltTop = applyBoundaryCondition(model,'mixed','Edge',1,... 'u',100,... 'EquationIndex',3);
Укажите, что нижняя часть луча (ребро 2) основывается путем установки напряжения на 0.
voltBot = applyBoundaryCondition(model,'mixed','Edge',2,... 'u',0,... 'EquationIndex',3);
Укажите, что левая сторона (ребра 6 и 7) фиксируется путем установки x-и y-смещений (компоненты решения 1 и 2) к 0.
clampLeft = applyBoundaryCondition(model,'mixed','Edge',6:7,... 'u',[0 0],... 'EquationIndex',1:2);
Напряжение и заряд на правой стороне луча являются нулем. Соответственно, используйте граничное условие по умолчанию для ребер 3 и 4.
Сгенерируйте mesh и решите модель.
msh = generateMesh(model,'Hmax',5e-4);
result = solvepde(model)
result = StationaryResults with properties: NodalSolution: [3605x3 double] XGradients: [3605x3 double] YGradients: [3605x3 double] ZGradients: [0x3 double] Mesh: [1x1 FEMesh]
Доступ к решению в узловых местоположениях. Первый столбец содержит x-отклонение. Второй столбец содержит y-отклонение. Третий столбец содержит электрический потенциал.
rs = result.NodalSolution;
Найдите минимальное y-отклонение.
feTipDeflection = min(rs(:,2));
fprintf('Finite element tip deflection is: %12.4e\n',feTipDeflection);
Finite element tip deflection is: -3.2900e-05
Сравните этот результат с известным аналитическим решением.
tipDeflection = -3*d31*100*L^2/(8*H2^2);
fprintf('Analytical tip deflection is: %12.4e\n',tipDeflection);
Analytical tip deflection is: -3.3000e-05
Постройте компоненты отклонения и электрический потенциал.
varsToPlot = char('X-Deflection, meters', ... 'Y-Deflection, meters', ... 'Electrical Potential, Volts'); for i = 1:size(varsToPlot,1) figure; pdeplot(model,'XYData',rs(:,i),'Contour','on') title(varsToPlot(i,:)) % scale the axes to make it easier to view the contours axis([0, L, -4*H2, 4*H2]) xlabel('X-Coordinate, meters') ylabel('Y-Coordinate, meters') axis square end
Хван, Добейтесь-Seok, и парк Hyun Chul. "Моделирование Конечного элемента Пьезоэлектрических Датчиков и Приводов". Журнал 31, № 5 AIAA (май 1993): 930-937.
Пифорд, V. "Моделирования конечного элемента Пьезоэлектрических Активных Структур". Доктор философии diss., Брюссельский свободный университет, 2001.