Уравнения можно решить Используя тулбокс УЧП

Partial Differential Equation Toolbox™ решает скалярные уравнения формы

m2ut2+dut·(cu)+au=f

и уравнения собственного значения формы

·(cu)+au=λduили·(cu)+au=λ2mu

Для скалярных УЧП существует два варианта граничных условий для каждого ребра или поверхности:

  • Дирихле — На ребре или поверхности, решение u удовлетворяет уравнению

    hu = r,

    где h и r могут быть функциями пробела (x, y, и, в 3-D случае, z), решение u, и время. Часто, вы берете h = 1 и устанавливаете r на соответствующее значение.

  • Обобщенные Неймановы граничные условия — На ребре или поверхности решение u удовлетворяют уравнению

    n·(cu)+qu=g

    n исходящий нормальный модуль. q и g являются функциями, определяемыми на ∂ Ω и могут быть функциями x, y, и, в 3-D случае, z, решении u, и, для зависящих от времени уравнений, время.

Тулбокс также решает системы уравнений формы

m2ut2+dut·(cu)+au=f

и системы собственного значения формы

·(cu)+au=λduили·(cu)+au=λ2mu

Система УЧП с компонентами N является связанными УЧП N с двойными граничными условиями. Скалярные УЧП - те с N = 1, означая всего один УЧП. Системы УЧП обычно означают N > 1. Документация иногда называет системы многомерными УЧП или УЧП с векторным решением u. Во всех случаях системы УЧП имеют одну геометрию и mesh. Это - только N, количество уравнений, которые могут варьироваться.

Коэффициенты m, d, c, a и f могут быть функциями местоположения (x, y, и, в 3-D, z), и, за исключением задач о собственных значениях, они также, могут быть функциями решения u или его градиент. Для задач о собственных значениях коэффициенты не могут зависеть от решения u или его градиент.

Для скалярных уравнений все коэффициенты кроме c являются скаляром. Коэффициент c представляет матрицу 2 на 2 в 2D геометрии или 3х3 матрицу в 3-D геометрии. Для систем уравнений N коэффициентами m, d, и является N-by-N матрицы, f является N-by-1 вектор, и c является тензором 2N-by-2N (2D геометрия) или тензором 3N-by-3N (3-D геометрия). Для значения cu, см. c Коэффициент для specifyCoefficients.

Когда и m и d является 0, УЧП является стационарным. Когда или m или d являются ненулевыми, проблема является зависящей от времени. Когда любой коэффициент зависит от решения u или его градиент, проблема называется нелинейная.

Для систем УЧП существуют обобщенные версии Дирихле и Неймановых граничных условий:

  • hu = r представляет матрицу h, умножающую вектор решения u и равняющуюся вектору r.

  • n·(cu)+qu=g. Для 2D систем, обозначения n·(cu) означает N-by-1 матрица с (i, 1) - компонент

    j=1N(cos(α)ci,j,1,1x+cos(α)ci,j,1,2y+sin(α)ci,j,2,1x+sin(α)ci,j,2,2y)uj

    где исходящий вектор нормали контура n=(cos(α),sin(α)).

    Для 3-D систем, обозначения n·(cu) означает N-by-1 вектор с (i, 1) - компонент

    j=1N(sin(φ)cos(θ)ci,j,1,1x+sin(φ)cos(θ)ci,j,1,2y+sin(φ)cos(θ)ci,j,1,3z)uj+j=1N(sin(φ)sin(θ)ci,j,2,1x+sin(φ)sin(θ)ci,j,2,2y+sin(φ)sin(θ)ci,j,2,3z)uj+j=1N(cos(θ)ci,j,3,1x+cos(θ)ci,j,3,2y+cos(θ)ci,j,3,3z)uj

    где исходящий вектор нормали контура n=(sin(φ)cos(θ),sin(φ)sin(θ),cos(φ)).

    Для каждого ребра или сегмента поверхности, существуют в общей сложности граничные условия N.

Похожие темы

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте