Partial Differential Equation Toolbox™ решает скалярные уравнения формы
и уравнения собственного значения формы
Для скалярных УЧП существует два варианта граничных условий для каждого ребра или поверхности:
Дирихле — На ребре или поверхности, решение u удовлетворяет уравнению
hu = r,
где h и r могут быть функциями пробела (x, y, и, в 3-D случае, z), решение u, и время. Часто, вы берете h = 1 и устанавливаете r на соответствующее значение.
Обобщенные Неймановы граничные условия — На ребре или поверхности решение u удовлетворяют уравнению
исходящий нормальный модуль. q и g являются функциями, определяемыми на ∂ Ω и могут быть функциями x, y, и, в 3-D случае, z, решении u, и, для зависящих от времени уравнений, время.
Тулбокс также решает системы уравнений формы
и системы собственного значения формы
Система УЧП с компонентами N является связанными УЧП N с двойными граничными условиями. Скалярные УЧП - те с N = 1, означая всего один УЧП. Системы УЧП обычно означают N > 1. Документация иногда называет системы многомерными УЧП или УЧП с векторным решением u. Во всех случаях системы УЧП имеют одну геометрию и mesh. Это - только N, количество уравнений, которые могут варьироваться.
Коэффициенты m, d, c, a и f могут быть функциями местоположения (x, y, и, в 3-D, z), и, за исключением задач о собственных значениях, они также, могут быть функциями решения u или его градиент. Для задач о собственных значениях коэффициенты не могут зависеть от решения u
или его градиент.
Для скалярных уравнений все коэффициенты кроме c являются скаляром. Коэффициент c представляет матрицу 2 на 2 в 2D геометрии или 3х3 матрицу в 3-D геометрии. Для систем уравнений N коэффициентами m, d, и является N-by-N матрицы, f является N-by-1 вектор, и c является тензором 2N-by-2N (2D геометрия) или тензором 3N-by-3N (3-D геометрия). Для значения , см. c Коэффициент для specifyCoefficients.
Когда и m и d является 0
, УЧП является стационарным. Когда или m или d являются ненулевыми, проблема является зависящей от времени. Когда любой коэффициент зависит от решения u или его градиент, проблема называется нелинейная.
Для систем УЧП существуют обобщенные версии Дирихле и Неймановых граничных условий:
hu = r представляет матрицу h, умножающую вектор решения u и равняющуюся вектору r.
. Для 2D систем, обозначения означает N-by-1 матрица с (i, 1) - компонент
где исходящий вектор нормали контура .
Для 3-D систем, обозначения означает N-by-1 вектор с (i, 1) - компонент
где исходящий вектор нормали контура .
Для каждого ребра или сегмента поверхности, существуют в общей сложности граничные условия N.