Физика ослабленного гармонического генератора

Этот пример исследует физику ослабленного гармонического генератора

решение уравнений движения в случае никаких движущих сил,
исследование случаев под - сверх - и критическое затухание

Содержимое

Выведите уравнение движения
Решите уравнение движения (F = 0)
Случай Underdamped ( $ζ < 1$ )
Сверхослабленный случай ( $ζ > 1$ )
Критически ослабленный случай ( $ζ = 1$ )
Заключение

1. Выведите уравнение движения

Рассмотрите принудительный гармонический генератор с затуханием показанного ниже. Смоделируйте силу сопротивления как пропорциональную скорости, с которой перемещается генератор.

Определите уравнение движения где

$m$ масса
$c$ коэффициент демпфирования
$k$ коэффициент упругости
$F$ движущая сила

syms x(t) m c k F(t)
eq = m*diff(x,t,t) + c*diff(x,t) + k*x == F

eq(t) = 
 $m \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} x (t) + c \frac{\partial}{\partial t} x (t) + k x (t) = F (t)$

Перепишите использование уравнения $c = m γ$ и $k = m ω_{0}^{2}$ .

syms gamma omega_0
eq = subs(eq, [c k], [m*gamma, m*omega_0^2])

eq(t) = 
 $m \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} x (t) + γ m \frac{\partial}{\partial t} x (t) + m x (t) {ω_{0}}^{2} = F (t)$

Отделите массу $m$ . Теперь у нас есть уравнение в удобной форме, чтобы анализировать.

eq = collect(eq, m)/m

eq(t) = 
 $\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} x (t) + γ \frac{\partial}{\partial t} x (t) + x (t) {ω_{0}}^{2} = \frac{F (t)}{m}$

2. Решите уравнение Движения где F = 0

Решите уравнение движения с помощью dsolve в случае никаких внешних сил, где $F = 0$ . Используйте начальные условия модульного смещения и обнулите скорость.

vel = diff(x,t);
cond = [x(0) == 1, vel(0) == 0];
eq = subs(eq,F,0);
sol = dsolve(eq, cond)

sol = 
 $\begin{array}{l} \frac{e^{- t (\frac{γ}{2} - \frac{σ_{1}}{2})} (γ + σ_{1})}{2 σ_{1}} - \frac{e^{- t (\frac{γ}{2} + \frac{σ_{1}}{2})} (γ - σ_{1})}{2 σ_{1}} \\ where \\ σ_{1} = \sqrt{(γ - 2 ω_{0}) (γ + 2 ω_{0})} \end{array}$

Исследуйте, как упростить решение путем расширения его.

sol = expand(sol)

sol = 
 $\begin{array}{l} \frac{σ_{1} σ_{2}}{2} + \frac{σ_{1} e^{\frac{t \sqrt{γ^{2} - 4 {ω_{0}}^{2}}}{2}}}{2} - \frac{γ σ_{1} σ_{2}}{2 \sqrt{γ^{2} - 4 {ω_{0}}^{2}}} + \frac{γ σ_{1} e^{\frac{t \sqrt{γ^{2} - 4 {ω_{0}}^{2}}}{2}}}{2 \sqrt{γ^{2} - 4 {ω_{0}}^{2}}} \\ where \\ σ_{1} = e^{- \frac{γ t}{2}} \\ σ_{2} = e^{- \frac{t \sqrt{γ^{2} - 4 {ω_{0}}^{2}}}{2}} \end{array}$

Заметьте, что каждый термин имеет фактор $σ_{1}$ , или $e^{- γ t / 2}$ , используйте collect собрать эти условия

sol = collect(sol, exp(-gamma*t/2))

sol = 
 $\begin{array}{l} (\frac{e^{- σ_{1}}}{2} + \frac{e^{σ_{1}}}{2} - \frac{γ e^{- σ_{1}}}{2 \sqrt{γ^{2} - 4 {ω_{0}}^{2}}} + \frac{γ e^{σ_{1}}}{2 \sqrt{γ^{2} - 4 {ω_{0}}^{2}}}) e^{- \frac{γ t}{2}} \\ where \\ σ_{1} = \frac{t \sqrt{γ^{2} - 4 {ω_{0}}^{2}}}{2} \end{array}$

Термин $\sqrt{γ^{2} - 4 ω_{0}^{2}}$ появляется в различных частях решения. Перепишите его в более простой форме путем представления коэффициента затухания $ζ \equiv \frac{γ}{2 ω_{0}}$ .

Замена ζ в термин выше дает:

$\sqrt{γ^{2} - 4 ω_{0}^{2}} = 2 ω_{0} \sqrt{{(\frac{γ}{2 ω_{0}})}^{2} - 1} = 2 ω_{0} \sqrt{ζ^{2} - 1},$

syms zeta;
sol = subs(sol, ...
    sqrt(gamma^2 - 4*omega_0^2), ...
    2*omega_0*sqrt(zeta^2-1))

sol = 
 $\begin{array}{l} e^{- \frac{γ t}{2}} (\frac{σ_{2}}{2} + \frac{σ_{1}}{2} + \frac{γ σ_{2}}{4 ω_{0} \sqrt{ζ^{2} - 1}} - \frac{γ σ_{1}}{4 ω_{0} \sqrt{ζ^{2} - 1}}) \\ where \\ σ_{1} = e^{- ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}} \\ σ_{2} = e^{ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}} \end{array}$

Далее упростите решение путем замены $γ$ в терминах $ω_{0}$ и $ζ$ ,

sol = subs(sol, gamma, 2*zeta*omega_0)

sol = 
 $\begin{array}{l} e^{- ω_{0} t ζ} (\frac{σ_{2}}{2} + \frac{σ_{1}}{2} + \frac{ζ σ_{2}}{2 \sqrt{ζ^{2} - 1}} - \frac{ζ σ_{1}}{2 \sqrt{ζ^{2} - 1}}) \\ where \\ σ_{1} = e^{- ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}} \\ σ_{2} = e^{ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}} \end{array}$

Мы вывели общее решение для движения ослабленного гармонического генератора без движущих сил. Затем мы исследуем три особых случая коэффициента затухания $ζ$ где движение берет более простые формы. Эти случаи называются

underdamped $(ζ < 1)$ ,
сверхослабленный $(ζ > 1)$ , и
критически ослабленный $(ζ = 1)$ .

3. Случай Underdamped ( $ζ < 1$ )

Если $ζ < 1$ то $\sqrt{ζ^{2} - 1} = i \sqrt{1 - ζ^{2}}$ является чисто мнимым

solUnder = subs(sol, sqrt(zeta^2-1), 1i*sqrt(1-zeta^2))

solUnder = 
 $\begin{array}{l} e^{- ω_{0} t ζ} (\frac{σ_{1}}{2} + \frac{σ_{2}}{2} + \frac{ζ σ_{1} i}{2 \sqrt{1 - ζ^{2}}} - \frac{ζ σ_{2} i}{2 \sqrt{1 - ζ^{2}}}) \\ where \\ σ_{1} = e^{- ω_{0} t \sqrt{1 - ζ^{2}} i} \\ σ_{2} = e^{ω_{0} t \sqrt{1 - ζ^{2}} i} \end{array}$

Заметьте условия $e^{i ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}} \pm e^{- {i ω}_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}}$ в вышеупомянутом уравнении и отзыве идентичность $e^{i x} = \cos (x) + i \sin (x) .$

Перепишите решение в терминах $\cos$ .

solUnder = coeffs(solUnder, zeta);
solUnder = solUnder(1);
c = exp(-omega_0 * zeta * t);
solUnder = c * rewrite(solUnder / c, 'cos')

solUnder =  $e^{- ω_{0} t ζ} \cos (ω_{0} t \sqrt{1 - ζ^{2}})$

solUnder(t, omega_0, zeta) = solUnder

solUnder(t, omega_0, zeta) =  $e^{- ω_{0} t ζ} \cos (ω_{0} t \sqrt{1 - ζ^{2}})$

Система колеблется в собственной частоте $ω_{0} \sqrt{1 - ζ^{2}}$ и затухания на экспоненциальном уровне $1 / ω_{0} ζ$ .

Постройте решение с fplot как функция $ω_{0} t$ и $ζ$ .

z = [0 1/4 1/2 3/4];
w = 1;
T = 4*pi;
lineStyle = {'-','--',':k','-.'};

fplot(@(t)solUnder(t, w, z(1)), [0 T], lineStyle{1});

hold on;
for k = 2:numel(z)
    fplot(@(t)solUnder(t, w, z(k)), [0 T], lineStyle{k});
end
hold off;
grid on;
xticks(T*linspace(0,1,5));
xticklabels({'0','\pi','2\pi','3\pi','4\pi'});
xlabel('t / \omega_0');
ylabel('amplitude');
lgd = legend('0','1/4','1/2','3/4');
title(lgd,'\zeta');
title('Underdamped');

4. Сверхослабленный случай ( $ζ > 1$ )

Если $ζ > 1$ то $\sqrt{ζ^{2} - 1}$ чисто действительно, и решение может быть переписано как

solOver = sol

solOver = 
 $\begin{array}{l} e^{- ω_{0} t ζ} (\frac{σ_{2}}{2} + \frac{σ_{1}}{2} + \frac{ζ σ_{2}}{2 \sqrt{ζ^{2} - 1}} - \frac{ζ σ_{1}}{2 \sqrt{ζ^{2} - 1}}) \\ where \\ σ_{1} = e^{- ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}} \\ σ_{2} = e^{ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}} \end{array}$

solOver = coeffs(solOver, zeta);
solOver = solOver(1)

solOver = 
 $e^{- ω_{0} t ζ} (\frac{e^{ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}}}{2} + \frac{e^{- ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}}}{2})$

Заметьте условия $\frac{(e^{ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}} + e^{- ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}})}{2}$ и вспомните идентичность $\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ .

Перепишите выражение в терминах $\cosh$ .

c = exp(-omega_0*t*zeta);
solOver = c*rewrite(solOver / c, 'cosh')

solOver =  $\cosh (ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}) e^{- ω_{0} t ζ}$

solOver(t, omega_0, zeta) = solOver

solOver(t, omega_0, zeta) =  $\cosh (ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}) e^{- ω_{0} t ζ}$

Постройте решение видеть, что оно затухает без колебания.

z = 1 + [1/4 1/2 3/4 1];
w = 1;
T = 4*pi;
lineStyle = {'-','--',':k','-.'};

fplot(@(t)solOver(t, w, z(1)), [0 T], lineStyle{1});

hold on;
for k = 2:numel(z)
    fplot(@(t)solOver(t, w, z(k)), [0 T], lineStyle{k});
end
hold off;
grid on;
xticks(T*linspace(0,1,5));
xticklabels({'0','\pi','2\pi','3\pi','4\pi'});
xlabel('\omega_0 t');
ylabel('amplitude');
lgd = legend('1+1/4','1+1/2','1+3/4','2');
title(lgd,'\zeta');
title('Overdamped');

5. Критически ослабленный случай ( $ζ = 1$ )

Если $ζ = 1$ , затем решение упрощает до

solCritical(t, omega_0) = limit(sol, zeta, 1)

solCritical(t, omega_0) =  $e^{- ω_{0} t} (ω_{0} t + 1)$

Постройте решение для критически ослабленного случая.

w = 1;
T = 4*pi;

fplot(solCritical(t, w), [0 T])
xlabel('\omega_0 t');
ylabel('x');
title('Critically damped, \zeta = 1');
grid on;
xticks(T*linspace(0,1,5));
xticklabels({'0','\pi','2\pi','3\pi','4\pi'});

6. Заключение

Мы исследовали различные состояния затухания на гармонический генератор путем решения ОДУ, который представляет его движение с помощью коэффициента затухания $ζ$ . Постройте все три случая вместе, чтобы сравнить и контрастировать их.

zOver  = pi;
zUnder = 1/zOver;
w = 1;
T = 2*pi;
lineStyle = {'-','--',':k'};

fplot(@(t)solOver(t, w, zOver), [0 T], lineStyle{1},'LineWidth',2);
hold on;
fplot(solCritical(t, w), [0 T], lineStyle{2},'LineWidth',2)
fplot(@(t)solUnder(t, w, zUnder), [0 T], lineStyle{3},'LineWidth',2);
hold off;

textColor = lines(3);
text(3*pi/2, 0.3 , 'over-damped'      ,'Color',textColor(1,:));
text(pi*3/4, 0.05, 'critically-damped','Color',textColor(2,:));
text(pi/8  , -0.1, 'under-damped');

grid on;
xlabel('\omega_0 t');
ylabel('amplitude');
xticks(T*linspace(0,1,5));
xticklabels({'0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi'});
yticks((1/exp(1))*[-1 0 1 2 exp(1)]);
yticklabels({'-1/e','0','1/e','2/e','1'});
lgd = legend('\pi','1','1/\pi');
title(lgd,'\zeta');
title('Damped Harmonic Oscillator');

Документация

Физика ослабленного гармонического генератора

Содержимое

1. Выведите уравнение движения

2. Решите уравнение Движения где F = 0

3. Случай Underdamped ( $ζ < 1$ )

4. Сверхослабленный случай ( $ζ > 1$ )

5. Критически ослабленный случай ( $ζ = 1$ )

6. Заключение

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка

Документация

Физика ослабленного гармонического генератора

Содержимое

1. Выведите уравнение движения

2. Решите уравнение Движения где F = 0

3. Случай Underdamped (ζ<1)

4. Сверхослабленный случай (ζ>1)

5. Критически ослабленный случай (ζ=1)

6. Заключение

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка

3. Случай Underdamped ( $ζ < 1$ )

4. Сверхослабленный случай ( $ζ > 1$ )

5. Критически ослабленный случай ( $ζ = 1$ )