Что такое Вейвлет?

Вейвлет является формой волны эффективно ограниченного срока действия, который имеет среднее значение нулевой и ненулевой нормы.

Много сигналов и изображений интереса предоставляют кусочно-гладкое поведение, акцентированное переходными процессами. Речевые сигналы характеризуются кратковременными вспышками, кодирующими согласные, сопровождаемые установившимися колебаниями, показательными из гласных. Естественные изображения имеют ребра. Финансовые временные ряды предоставляют переходное поведение, которые характеризуют быстрые подъемы и спады в экономических условиях. В отличие от основания Фурье, основы вейвлета владеют мастерством разреженного представления кусочных регулярных сигналов и изображений, которые включают переходное поведение.

Сравните вейвлеты с синусоидами, которые являются основанием анализа Фурье. Синусоиды не имеют ограниченного срока действия — они расширяют от минус до плюс бесконечность. В то время как синусоиды являются гладкими и предсказуемы, вейвлеты имеют тенденцию быть неправильными и асимметричными.

Анализ Фурье состоит из разбивания сигнала в синусоиды различных частот. Точно так же анализ вейвлета является разбиванием сигнала в переключенные и масштабированные версии оригинала (или родительский элемент) вейвлет.

Только смотря на изображения вейвлетов и синусоид, вы видите интуитивно, что сигналы с резкими изменениями могут лучше анализироваться с неправильным вейвлетом, чем со сглаженной синусоидой.

Это также целесообразно, что локальные признаки могут быть описаны лучше с вейвлетами, которые имеют локальную степень. Следующий пример иллюстрирует это для простого сигнала, состоящего из синусоиды с разрывом.

Локализуйте разрыв в Sine wave

Этот пример показывает, что анализ вейвлета может локализовать разрыв в синусоиде.

Создайте синусоиду на 1 Гц, произведенную на уровне 100 Гц. Длительность синусоиды является одной секундой. Синусоида имеет разрыв в t=0.5 секунды.

t = linspace(0,1,100)';
x = sin(2*pi*t);
x1 = x-0.15;
y = zeros(size(x));
y(1:length(y)/2) = x(1:length(y)/2);
y(length(y)/2+1:end) = x1(length(y)/2+1:end);
stem(t,y,'markerfacecolor',[0 0 1]); 
xlabel('Seconds'); 
ylabel('Amplitude');

Получите неподкошенное дискретное преобразование вейвлета синусоиды с помощью 'sym2' вейвлет и график вейвлет (деталь) коэффициенты наряду с исходным сигналом.

[swa,swd] = swt(y,1,'sym2');
subplot(211)
stem(t,y,'markerfacecolor',[0 0 1]); 
title('Original Signal');
subplot(212)
stem(t,swd,'markerfacecolor',[0 0 1]);
title('Level 1 Wavelet Coefficients');

Сравните содействующие величины Фурье для синусоиды на 1 Гц с и без разрыва.

dftsig = fft([x y]);
dftsig = dftsig(1:length(y)/2+1,:);
df = 100/length(y);
freq = 0:df:50;
stem(freq,abs(dftsig));
xlabel('Hz'); ylabel('Magnitude');
legend('sine wave','sine wave with discontinuity');

Существует минимальное различие в величинах коэффициентов Фурье. Поскольку дискретные базисные векторы Фурье имеют поддержку по целому временному интервалу, дискретное преобразование Фурье не обнаруживает разрыв так же эффективно, как вейвлет преобразовывает.

Сравните коэффициенты вейвлета уровня 1 для синусоиды с и без разрыва.

[swax,swdx] = swt(x,1,'sym2');
subplot(211)
stem(t,swd); title('Sine Wave with Discontinuity (Wavelet Coefficients)');
subplot(212)
stem(t,swdx); title('Sine Wave (Wavelet Coefficients)');

Коэффициенты вейвлета двух сигналов демонстрируют значительную разницу. Анализ вейвлета часто способен к разоблачающим характеристикам сигнала, или отобразите тот другой анализ методы мисс, как тренды, аварийные точки, разрывы в производных высшего порядка и самоподобие. Кроме того, потому что вейвлеты обеспечивают другой взгляд на данные, чем представленные методами Фурье, анализ вейвлета могут часто значительно сжиматься или denoise сигнал без заметного ухудшения.

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте