Соединение обратной связи пассивных систем

Рассмотрите соединение двух подсистем $$G_1$$ и $$G_2$$ в обратной связи. Взаимосвязанная система $$H$$ сопоставляет вход $$r$$ к выходу $$y_1$$.

Если обе системы $$G_1$$ и $$G_2$$ пассивный элемент, затем взаимосвязанная система $$H$$ как гарантируют, будет пассивным элементом. Возьмите, например,

Обе системы являются пассивным элементом, как подтверждено

G1 = tf([1,1,1],[1,1,4]); 
isPassive(G1)

ans = logical
   1

G2 = tf([1,2],[1,5]);
isPassive(G2)

ans = logical
   1

Взаимосвязанная система является поэтому пассивным элементом.

H = feedback(G1,G2);
isPassive(H)

ans = logical
   1

Это подтверждено путем проверки что годограф Найквиста $$H$$ положителен действительный.

nyquist(H)

Индексы пассивности для соединения обратной связи

Существует отношение между индексами пассивности $$G_1$$ и $$G_2$$ и индексы пассивности взаимосвязанной системы $$H$$Пусть $${\nu }_1$$ и $${\nu }_2$$ обозначьте входные индексы пассивности для $$G_1$$ и $$G_2$$, и позвольте $${\rho }_1$$ и $${\rho }_2$$ обозначьте выходные индексы пассивности. Если все эти индексы положительны, то входной индекс пассивности $$\nu$$ и выходной индекс пассивности $$\rho$$ для соединения обратной связи $$H$$ удовлетворить

Другими словами, мы можем вывести некоторый минимальный уровень пассивности ввода и вывода для системы с обратной связью $$H$$ от индексов пассивности ввода и вывода $$G_1$$ и $$G_2$$. Для получения дополнительной информации смотрите статью Чжу, F. и Ся, M и Antsaklis, P.J., "Анализ пассивности и пассивирование систем с обратной связью с помощью индексов пассивности", американская Конференция по Управлению, 2014, стр 1833-1838. Проверьте нижнюю границу для входного индекса пассивности $$\nu$$.

% Input passivity index for G1
nu1 = getPassiveIndex(G1,'input');
% Output passivity index for G2
rho2 = getPassiveIndex(G2,'output');
% Input passivity index for H
nu = getPassiveIndex(H,'input')

nu = 0.1293

% Lower bound
nu1*rho2/(nu1+rho2)

ans = 7.1402e-11

Точно так же проверьте нижнюю границу для выходного индекса пассивности $$H$$.

% Output passivity index for G1
rho1 = getPassiveIndex(G1,'output');
% Input passivity index for G2
nu2 = getPassiveIndex(G2,'input');
% Output passivity index for H
rho = getPassiveIndex(H,'output')

rho = 0.4441

% Lower bound
rho1+nu2

ans = 0.4000