Задержитесь как система свертки

Целочисленные задержки задержек

Рассмотрите задержку цифрового сигнала, $y[n]=x[n-D]$ где D является целым числом. Эта операция может быть представлена как фильтр свертки $$y=h*x$$, с конечной импульсной характеристикой $\mathit{h}\left[\mathit{n}\right]=\delta \left[\mathit{n}-\mathit{D}\right]$. Соответствующая передаточная функция $$H(z)=z^{-D}$$, и frequeny ответ $\mathit{H}\left(\omega \right)={\mathit{e}}^{-\mathit{i}\omega \mathit{D}}$. Программно, можно реализовать такой целочисленный фильтр задержки с помощью следующего кода MATLAB®.

% Create the FIR
D = 3; % Delay value
h = [zeros(1,D) 1]

h = 1×4

     0     0     0     1

Переключите последовательность путем пропущения его через КИХ h. Отметьте начальные нули в начале выхода, те показывают начальное условие, которое свойственно к таким фильтрам.

x = (1:10)';
dfir = dsp.FIRFilter(h);
y = dfir(x)'

y = 1×10

     0     0     0     1     2     3     4     5     6     7

Задержки нецелого числа через Интерполяцию D/A

Задержка последовательности $\mathit{x}\left[\mathit{n}-\mathit{D}\right]$ не задан каждый раз, когда D не является целым числом. Чтобы сделать такие дробные задержки разумными, нужно добавить промежуточный этап интерполяции D/A, чтобы произвести выход на contniuum. Таким образом, $\mathit{y}\left[\mathit{n}\right]=\widehat{{\mathit{x}}_{\mathit{n}}}\left(\mathit{n}-\mathit{D}\right)$ где $\widehat{{\mathit{x}}_{\mathit{n}}}$ обозначает некоторую интерполяцию D/A входа sequnce $\mathit{x}$. D/A, интерполирующий функцию$\widehat{{\mathit{x}}_{\mathit{n}}}$ мог зависеть от с n и мог считаться представлением базовой модели аналогового сигнала от который последовательность $\mathit{x}$ был произведен. Эта стратегия используется в других проблемах передискретизации, таких как преобразование уровня.

Этот пример покажет дробные фильтры задержки с помощью двух моделей интерполяции, обе из которых предлагаются как часть Системного Тулбокса DSP.

Bandlimited дробные фильтры задержки

Интерполяционная формула Шенноновского Уиттекера $\hat{\mathit{x}}\left(\mathit{t}\right)=\sum _{\mathit{k}}\mathit{x}\left[\mathit{k}\right]\mathrm{sinc}\left(\mathit{t}-\mathit{k}\right)$ модели bandlimited сигналы. Таким образом, промежуточное преобразование D/A $\hat{\mathit{x}}$ bandlimited реконструкция входной последовательности. Для значения задержки D, дробной задержки $\mathit{y}\left[\mathit{n}\right]=\hat{\mathit{x}}\left(\mathit{n}-\mathit{D}\right)$, который использует то же самое $\hat{\mathit{x}}$ для каждого n, может быть представлен как фильтр свертки. Этот фильтр называется идеалом bandlimited дробным фильтром задержки, и его импульсная характеристика

$$h_D[k]=\text{sinc}(k-D)$$.

Соответствующей частотной характеристикой (то есть, DTFT) дают $$H_D(\omega )=e^{-i\omega D}$$.

Причинное КИХ-приближение идеального фильтра сдвига Bandlimited

Идеал sinc фильтр сдвига, описанный в предыдущем разделе, является фильтром все-передачи (i.e. $\left|{\mathit{H}}_{\mathit{d}}\left(\omega \right)\right|=1$), но это имеет бесконечную и непричинную импульсную характеристику ${\mathit{h}}_{\mathit{D}}$. В MATLAB это не может быть представлено как вектор, а скорее в зависимости от индекса k.

% Ideal Filter sequence
D = 0.4;
hIdeal = @(k) sinc(k-D); 

В практических и вычислительных целях идеальный фильтр может быть усеченным на конечном окне индекса по стоимости некоторой потери пропускной способности. Для целевого значения задержки $\mathit{D}$ и желаемая длина N, окно индексов $\mathit{k}$удовлетворение $|\mathit{D}-\mathit{k}|\le \frac{\mathit{N}}{2}$ симметрично о $\mathit{D}$, и получает основной лепесток идеального фильтра. Для $\mathit{D}={\mathit{i}}_0+\mathit{FD}$ где $\mathit{0}\le \mathit{FD}\le 1$ и целое число ${\mathit{i}}_0$, явные индексы окна$$\{i_0-\lfloor \frac{N-1}{2}\rfloor ,\dots ,i_0+\lfloor \frac{N}{2}\rfloor \}$$. Целое число ${\mathit{i}}_0$ упоминается как целочисленная задержка и может быть выбран произвольно. Чтобы сделать КИХ причинным, установить ${\mathit{i}}_0=\lfloor \frac{\mathit{N}-1}{2}\rfloor$, таким образом, окно индекса $\left\{0,\dots ,\mathit{N}-1\right\}$. Код ниже изображает объяснение позади причинного КИХ-приближения.

% FIR approximation with causal shift
N = 6;
idxWindow = (-floor((N-1)/2):floor(N/2))';
i0 = -idxWindow(1); % Causal latency
hApprox = hIdeal(idxWindow);
plot_causal_fir("sinc",D,N,i0,hApprox,hIdeal);

Усечение фильтра sinc вызывает пульсацию в частотной характеристике, которая может быть обращена путем применения весов $\left\{{\mathit{w}}_{\mathit{k}}\right\}$ (такие как Кайзер или Хэмминг) к КИХ-коэффициентам.

Наконец, получившаяся КИХ-модель приближения идеала bandlimited дробный фильтр задержки приведена ниже.

Можно спроектировать такой фильтр с помощью designFracDelayFIR функционируйте и dsp.VariableFractionalDelay Системный объект в 'FIR' режим, оба из которых используют веса окна Кайзера.

Основанные на Лагранже дробные фильтры задержки

Основанные на Лагранже дробные фильтры задержки используют polynmial, соответствующий на движущемся окне входных выборок. Таким образом, $\widehat{{\mathit{x}}_{\mathit{n}}}\left(\mathit{t}\right)$ полином некоторой фиксированной степени K. Как находящиеся в sinc фильтры задержки, основанные на Лагранже фильтры задержки могут быть сформулированы как причинная КИХ-свертка (i.e. $\mathit{y}=\mathit{h}*\mathit{x}$) из длины N=K+1, и поддерживаемый на окне индекса$$\{-\lfloor \frac{N-1}{2}\rfloor ,\dots \lfloor \frac{N}{2}\rfloor \}$$. Так же к находящейся в sinc модели, примените причинную задержку ${\mathit{i}}_0=\lfloor \frac{\mathit{N}-1}{2}\rfloor$. Учитывая дробную задержку $\mathit{FD}$, КИХ-коэффициенты $\mathit{h}\left[0\right],\dots ,\mathit{h}\left[\mathit{K}\right]$ из (причинный переключенный) Лагранжев фильтр задержки может быть получен путем решения системы линейного equaions, как записано ниже. Те уравнения определяют стандартный Лагранжев многочлен подходящая проблема.

Здесь, ${\mathit{t}}_0,\dots ,{\mathit{t}}_{\mathit{K}}$ перечислимые индексы демонстрационного окна. Реализация является прямой.

% Filter parameters
FD = 0.4;
K = 7;    % Polynomial degree
N = K+1;  % FIR Length
idxWindow = (-floor((N-1)/2):floor(N/2))';

% Define and solve Lagrange interpolation equations
V = idxWindow.^(0:K); % Vandermonde structure
C = FD.^(0:K);

hLagrange = C/V;  % Solve for the coefficients
i0 = -idxWindow(1); % Causal latency
plot_causal_fir("Lagrange",FD,N,i0,hLagrange);

Эта модель может быть реализована как КИХ-фильтр прямой формы, если значение задержки, FD фиксируется, или использование структуры Фэрроу, если значение задержки варьируется. Существует раздел ниже специализированного implementaiton Лагранжевой интерполяции с помощью dsp.VariableFractionalDelay в 'Farrow' режим.

Разработка и реализация находящиеся в sinc Дробные КИХ-Фильтры Задержки

Следующий раздел является особым вниманием при разработке и реализовании находящихся в sinc дробных фильтров задержки.

Функция designFracDelayFIR в режиме проектирования длины

Функциональный designFracDelayFIR обеспечивает простой интерфейс, чтобы спроектировать дробный КИХ-фильтр задержки значения задержки FD и длины N.

FD = 0.32381;
N = 10;
h = designFracDelayFIR(FD,N)

h = 1×10

    0.0046   -0.0221    0.0635   -0.1664    0.8198    0.3926   -0.1314    0.0552   -0.0200    0.0042

Сама реализация может быть сделана как стандартный КИХ-фильтр, такой как dsp.FIRFilter Системный объект.

% Create an FIR filter object
fdfir = dsp.FIRFilter(h); 

Задержите сигнал путем пропущения его через спроектированный фильтр.

% Generate some input
n = (1:100)';
x = gen_input_signal(n);

% Filter the input signal
y = fdfir(x);
plot_sequences(n,x, n,y);
legend('Filter Output','Original Sequence')
title('Raw Filter Output v.s. Input Sequence')

release(fdfir);

Заметьте, что фактическая задержка фильтра не $\mathit{FD}$, а скорее $\mathit{FD}+{\mathit{i}}_0$ из-за причинной целочисленной задержки ${\mathit{i}}_0$. Та задержка возвращена в designFracDelayFIR функция также. Переключите график входной последовательности $\mathit{FD}+{\mathit{i}}_0$ выровнять фильтр выход с ожидаемым результатом.

[h,i0] = designFracDelayFIR(FD,N);
y = fdfir(x);
plot_sequences(n+i0+FD,x, n,y);
legend('Filter Output','Input Sequence (shifted by FD+i0)')
title('Filter Output v.s. Time Adjusted Input Sequence')

Обратите внимание на то, что переключенные входные маркеры, расположенные в $\left(\mathit{n}+\mathit{FD}+{\mathit{i}}_0,\mathit{x}\left[\mathit{n}\right]\right)$ обычно не совпадайте с выходными демонстрационными маркерами $\left(\mathit{n},\mathit{y}\left[\mathit{n}\right]\right)$, потому что $\mathit{n}+\mathit{FD}+{\mathit{i}}_0$ падения на значениях нецелого числа на оси X, тогда как n является целым числом. Скорее переключенные входные выборки падают приблизительно на линию, соединяющую каждые два последовательных выхода выборки.

plot_sequences(n+i0+FD,x, n,y,'with line');
legend('Filter Output','Input Sequence (shifted by FD+i0)')
title('Output Samples v.s. Shifted Input Samples ')
xlim([20,30])

dsp.VariableFractionalDelay Системный объект in 'FIR' Режим

Так же к designFracDelayFIR, dsp.VariableFractionalDelay объект может также спроектировать находящиеся в sinc фильтры задержки, когда используется с 'FIR' режим интерполяции. Начните путем создания экземпляра Системного объекта. КИХ-длина всегда даже и задана как поясной параметр.

vfd_fir = dsp.VariableFractionalDelay('InterpolationMethod','FIR','FilterHalfLength',N/2);
i0_vfd_fir = vfd_fir.FilterHalfLength;    % Interger latency

Передайте желаемую дробную задержку как второй входной параметр к вызову объектов. Убедитесь, что значение задержки, которое вы задаете, включает целочисленную задержку.

y = vfd_fir(x,i0+FD);
release(vfd_fir)
plot_sequences(n+i0+FD,x, n,y);
legend('Filter Output','Input Sequence (shifted by FD+i0)')
title('dsp.VariableFractionalDelay in FIR Mode')

Сравнение designFracDelayFIR и dsp.VariableFractionalDelay в 'КИХ-' Режиме

Оба designFracDelayFIR и dsp.VariableFractionalDelay в 'FIR' режим обеспечивает находящиеся в sinc дробные фильтры задержки, но их реализации отличаются.

Использование designFractionalDelayFIR предпочтен по dsp.VariableFractionalDelay в 'FIR' режим для его простоты, лучшей эффективности и КПД. На рисунке ниже, фильтр спроектирован с dsp.VariableFractionalDelay имеет более короткую пропускную способность, и ее групповая задержка выключена ~0.02 от номинальной стоимости.

% Obtain the FIR coefficients from the dsp.VariableFractionalDelay object
h_vfd_fir = vfd_fir([1;zeros(31,1)],i0_vfd_fir+FD);
release(vfd_fir);
plot_freq_and_gd(h,i0,[],"designFracDelayFIR", h_vfd_fir,i0_vfd_fir,[],"dsp.VariableFractionalDelay FIR mode");
hold on;
yline(FD,'DisplayName','Target Fractional Delay');
ylim([-0.1,0.4])

Разработка и реализация основанные на Лагранже фильтры задержки

Основанный на Лагранже дробный фильтр задержки является в вычислительном отношении дешевым и может быть реализован эффективно с помощью структуры Фэрроу. Фильтр Фэрроу является специальным типом КИХ, который реализован с помощью только элементарные алгебраические операции, такие как скалярные сложения и умножение. В отличие от находящихся в sinc проектов, фильтры Фэрроу не требуют, чтобы специализированные функции (такие как sinc или функция Бесселя) вычислили КИХ-коэффициенты задержки. Это делает Фэрроу, которую дробная задержка фильтрует особенно простой реализовать на базовом оборудовании.

На оборотной стороне основанные на Лагранже фильтры задержки ограничиваются младшими разрядами, из-за очень нестабильного характера знатных полиномиальных приближений. Это обычно заканчивается с более низкой пропускной способностью, при сравнении с находящимся в sinc фильтром.

Системный объект dsp.VariableFractionalDelay в 'Farrow' mode

Используйте системный объект dsp.VariableFractionalDelay в 'Farrow' режим, чтобы создать и реализовать Фэрроу задерживает фильтры. Начните путем создания экземпляра системного объекта:

vfd = dsp.VariableFractionalDelay('InterpolationMethod','Farrow','FilterLength',8);
i0var = floor(vfd.FilterLength/2)  % Interger latency of the filter

i0var = 4

Примените созданный объект на входной сигнал и постройте результат.

y = vfd(x,i0var+FD);
plot_sequences(n+i0var+FD,x, n,y);
legend('Farrow Fractional Delay Output','Input Sequence (shifted by FD+i0)')
title('dsp.VariableFractionalDelay in Farrow Mode')

Можно также варьироваться дробные значения задержки. Код ниже работает с системами координат 20 выборок при увеличении значения задержки с каждой системой координат. Отметьте увеличение задержки выходного графика, соответствуя изменениям в значениях задержки.

release(vfd)
FDs = i0var+5*(0:0.2:0.8); % Fractional delays vector
xsource = dsp.SignalSource(x,20);
ysink = dsp.AsyncBuffer;
for FD=FDs
    xk = xsource();
    yk = vfd(xk, FD);
    write(ysink,yk);
end
y = read(ysink);

plot_sequences(n+i0var,x, n,y);
legend('Variable Fractional Delay Output','Original Sequence (shifted by i0)')
title('dsp.VariableFractionalDelay in Farrow Mode, Varying Delay')

Пропускная способность КИХ дробные фильтры задержки: анализ и проектирование

Более длинные фильтры дают лучшее приближение идеального фильтра задержки. Действительно, в терминах необработанных квадратичных норм это имеет место. Однако нам нужна метрика, которая более практически значима, такова как пропускная способность. Функциональный designFracDelayFIR меры объединили пропускную способность, которая задана как частотный диапазон, в котором и усиление и групповая задержка в 1% их номинальной стоимости. Измеренная объединенная пропускная способность может быть получена как возвращаемое значение designFracDelayFIR функция. Сравните фильтр длины 16 (синих) с фильтром длины 256 (красных) на рисунке ниже. Как ожидалось, более длинный фильтр имеют значительно более высокую объединенную пропускную способность.

FD = 0.3;
N1 = 16;
N2 = 256;
[h1,i1,bw1] = designFracDelayFIR(FD, N1);
[h2,i2,bw2] = designFracDelayFIR(FD, N2);

plot_freq_and_gd(h1,i1,bw1,"N="+num2str(N1), h2,i2,bw2,"N="+num2str(N2));
ylim([-0.2,0.6])

Функция designFracDelayFIR в режиме проектирования пропускной способности

Режим проектирования пропускной способности designFracDelayFIR может определить необходимую длину для данной пропускной способности. Задайте значение задержки и желаемую целевую пропускную способность как входные параметры к функции, и функция найдет соответствующую длину.

FD = 0.3;
bwLower = 0.9; % Target bandwidth lower limit
[h,i0fixed,bw] = designFracDelayFIR(FD,bwLower);
fdfir = dsp.FIRFilter(h);
info(fdfir)

ans = 6x35 char array
    'Discrete-Time FIR Filter (real)    '
    '-------------------------------    '
    'Filter Structure  : Direct-Form FIR'
    'Filter Length     : 52             '
    'Stable            : Yes            '
    'Linear Phase      : No             '

Обратите внимание на то, что bwLower просто нижняя граница для объединенной пропускной способности. Функция возвращает фильтр, объединенная пропускная способность которого является, по крайней мере, значением, заданным в bwLow.

Искажение в высоких сигналах пропускной способности

В этом разделе мы сравниваем эффективность двух точек проекта (длинный sinc v.s. короткий Лагранж) с высоким входом пропускной способности. dsp.VariableFractionalDelay в предыдущем разделе структура Фэрроу с 8 степенями, эффективно КИХ длины 9. Фильтр получен designFracDelayFIR(FD,0.9) имеет продолжительность 52 выборок. Соединение двух КИХ-частотных характеристик на том же графике демонстрирует различие в пропускной способности между двумя.

release(vfd);
hvar = vfd([1;zeros(31,1)],i0var+FD);
plot_freq_and_gd(h,i0fixed,bw,"Sinc-based", hvar,i0var,[],"Farrow");
ylim([-0.2,0.6])

Примените два фильтра на высокий сигнал пропускной способности, как сравнено на рисунке ниже. Sinc на левом столбце, Фэрроу справа. Временной интервал на верхней строке, частота на нижней части. Результаты, как ожидалось:

n=(1:80)';
x = high_bw_signal(n);

y1 = fdfir(x);
y2 = vfd(x,i0var+FD);

plot_signal_comparison(n,x,y1,y2,h,hvar,i0fixed,i0var,FD);

Который должен использоваться: dsp.VariableFractionalDelay или designFracDelayFIR ?

Это решение в основном основано на требованиях фильтра и целевой платформе.