Загрузите и предварительно обработайте данные

Загрузите данные NASDAQ, включенные с Econometrics Toolbox™. Преобразуйте ряд сводного индекса дневного закрытия в ряд возврата. Для числовой устойчивости преобразуйте возвраты в процент, возвращается.

load Data_EquityIdx
nasdaq = DataTable.NASDAQ;
r = 100*price2ret(nasdaq);
T = length(r);

Создайте шаблон модели

Создайте AR (1) и GARCH (1,1) составная модель, которая имеет форму

где $${\epsilon }_t={\sigma }_t{z}_t$$ и $$z_t$$ стандартизированный Гауссов процесс iid.

VarMdl = garch(1,1)

VarMdl = 
  garch with properties:

     Description: "GARCH(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 1
               Q: 1
        Constant: NaN
           GARCH: {NaN} at lag [1]
            ARCH: {NaN} at lag [1]
          Offset: 0

Mdl = arima('ARLags',1,'Variance',VarMdl)

Mdl = 
  arima with properties:

     Description: "ARIMA(1,0,0) Model (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 1
               D: 0
               Q: 0
        Constant: NaN
              AR: {NaN} at lag [1]
             SAR: {}
              MA: {}
             SMA: {}
     Seasonality: 0
            Beta: [1×0]
        Variance: [GARCH(1,1) Model]

Mdl arima шаблон модели для оценки. NaN- свойства, передаваемые по значению, Mdl и VarMdl соответствуйте неизвестным, допускающим оценку коэффициентам и параметрам отклонения составной модели.

Оцените параметры модели

Подбирайте модель к серии r возврата при помощи estimate.

EstMdl = estimate(Mdl,r);

 
    ARIMA(1,0,0) Model (Gaussian Distribution):
 
                 Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                ________    _____________    __________    __________

    Constant    0.072632      0.018047         4.0245      5.7087e-05
    AR{1}        0.13816      0.019893          6.945      3.7847e-12

 
 
    GARCH(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution):
 
                 Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                ________    _____________    __________    __________

    Constant    0.022377      0.0033201        6.7399      1.5851e-11
    GARCH{1}     0.87312      0.0091019        95.927               0
    ARCH{1}      0.11865       0.008717        13.611       3.434e-42

EstMdl полностью заданный arima модель.

Отображение оценки показывает пять предполагаемых параметров и их соответствующие стандартные погрешности (AR (1), условная средняя модель имеет два параметра и GARCH (1,1), условная модель отклонения имеет три параметра).

Подобранная модель (EstMdl)

Все $\mathit{t}$ статистические данные больше 2, который предполагает, что все параметры являются статистически значительными.

Динамические модели требуют преддемонстрационных наблюдений, которыми можно инициализировать модель. Если вы не задаете преддемонстрационные наблюдения, estimate генерирует их по умолчанию.

Выведите условные отклонения и остаточные значения

Выведите и постройте условные отклонения и стандартизированные остаточные значения. Выведите значение целевой функции логарифмической правдоподобности.

[res,v,logL] = infer(EstMdl,r);

figure
subplot(2,1,1)
plot(v)
xlim([0,T])
title('Conditional Variances')

subplot(2,1,2)
plot(res./sqrt(v))
xlim([0,T])
title('Standardized Residuals')

Условное увеличение отклонений после наблюдения 2000. Этот результат соответствует увеличенной энергозависимости, замеченной в исходном ряду возврата.

Стандартизированные остаточные значения имеют более большие значения (больше, чем 2 или 3 в абсолютном значении), чем ожидалось при стандартном нормальном распределении. Этот результат предлагает Студента $\mathit{t}$ распределение может более подходить для инновационного распределения.

Подбирайте Модель С t Инновационным Распределением

Создайте шаблон модели из Mdl, и укажите, что его инновации имеют Студента $\mathit{t}$ распределение.

MdlT = Mdl;
MdlT.Distribution = 't';

MdlT имеет одну дополнительную оценку параметра: $\mathit{t}$ степени свободы распределения.

Подбирайте новую модель к NASDAQ, возвращают ряд. Задайте начальное значение для модели отклонения постоянный термин.

Variance0 = {'Constant0',0.001};
EstMdlT = estimate(MdlT,r,'Variance0',Variance0);

 
    ARIMA(1,0,0) Model (t Distribution):
 
                 Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                ________    _____________    __________    __________

    Constant    0.093488      0.016694         5.6002      2.1413e-08
    AR{1}        0.13911      0.018857         7.3771      1.6175e-13
    DoF           7.4775       0.88261          8.472      2.4126e-17

 
 
    GARCH(1,1) Conditional Variance Model (t Distribution):
 
                 Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                ________    _____________    __________    __________

    Constant    0.011246      0.0036305        3.0976       0.0019511
    GARCH{1}     0.90766       0.010516        86.315               0
    ARCH{1}     0.089897       0.010835        8.2966      1.0712e-16
    DoF           7.4775        0.88261         8.472      2.4126e-17

Коэффициент оценивает между EstMdl и EstMdlT немного отличаются. Оценка степеней свободы относительно мала (приблизительно 8), который указывает на значительное отклонение от нормальности.

Сравните подгонки модели

Обобщите предполагаемые модели. Из сводных данных получите количество предполагаемых параметров и значения целевой функции логарифмической правдоподобности от второй подгонки.

Summary = summarize(EstMdl);
SummaryT = summarize(EstMdlT);

numparams = Summary.NumEstimatedParameters;
numparamsT = SummaryT.NumEstimatedParameters;
logLT = SummaryT.LogLikelihood;

Сравните две подгонки модели (Гауссов и $\mathit{t}$ инновационное распределение) использование Критерия информации о Akaike (AIC) и Байесового информационного критерия (BIC).

[numparams numparamsT]

ans = 1×2

     5     6

[aic,bic] = aicbic([logL logLT],[numparams numparamsT],T)

aic = 1×2
103 ×

    9.4929    9.3807

bic = 1×2
103 ×

    9.5230    9.4168

Первая модель имеет шесть подходящих параметров, тогда как вторая модель имеет шесть (потому что это содержит $\mathit{t}$ степени свободы распределения). Несмотря на это различие, оба информационных критерия способствуют модели со Студентом $\mathit{t}$ инновационное распределение, потому что это дает к меньшему AIC и значениям BIC, чем модель с Гауссовыми инновациями.