В этом примере показано, как преобразовать Декартов в полярные координаты с помощью CORDIC векторизация алгоритма ядра в MATLAB®. Основанные на CORDIC алгоритмы очень важны для многих встраиваемых приложений, включая блоки управления приводом, навигацию, обработку сигналов и радиосвязи.
CORDIC является акронимом для Координатного Компьютера Вращения. Основанный на вращении алгоритм CORDIC Givens (см. [1,2]) является одним из большей части оборудования эффективные алгоритмы, потому что это только требует итеративных операций shift-add. Алгоритм CORDIC избавляет от необходимости явные множители и подходит для вычисления множества функций, таков как синус, косинус, arcsine, arccosine, арктангенс, векторная величина, разделитесь, квадратный корень, гиперболические и логарифмические функции.
Фиксированная точка алгоритм CORDIC требует следующих операций:
1 поиск по таблице на итерацию
2 сдвига на итерацию
3 сложения на итерацию
Можно использовать CORDIC, векторизовавший вычислительный алгоритм режима, чтобы вычислить atan(y/x)
, вычислите декартов полярный к декартовым преобразованиям, и для других операций. В векторизации режима вращающее устройство CORDIC вращает входной вектор к положительной Оси X, чтобы минимизировать компонент вектора невязок. Для каждой итерации, если координата вектора невязок положительна, вращающее устройство CORDIC вращается по часовой стрелке (использующий отрицательный угол); в противном случае это вращается против часовой стрелки (использующий положительный угол). Каждое вращение использует прогрессивно меньшее угловое значение. Если угловой аккумулятор инициализируется к 0, в конце итераций, накопленный угол поворота является углом исходного входного вектора.
В векторизации режима уравнения CORDIC:
угловой аккумулятор
где, если, и в противном случае;
, и общее количество итераций.
Как подходы:
Где:
.
Обычно выбирается, чтобы быть достаточно большим постоянным значением. Таким образом, может быть предварительно вычислен.
Пример реализации кода MATLAB CORDIC Векторизация алгоритма Ядра следует (для случая скалярного x
Y
, и z
). Этот тот же код может использоваться и для фиксированной точки и для операции с плавающей точкой.
CORDIC векторизация ядра
function [x, y, z] = cordic_vectoring_kernel(x, y, z, inpLUT, n) % Perform CORDIC vectoring kernel algorithm for N iterations. xtmp = x; ytmp = y; for idx = 1:n if y < 0 x(:) = accumneg(x, ytmp); y(:) = accumpos(y, xtmp); z(:) = accumneg(z, inpLUT(idx)); else x(:) = accumpos(x, ytmp); y(:) = accumneg(y, xtmp); z(:) = accumpos(z, inpLUT(idx)); end xtmp = bitsra(x, idx); % bit-shift-right for multiply by 2^(-idx) ytmp = bitsra(y, idx); % bit-shift-right for multiply by 2^(-idx) end
Декартов к полярному расчету Используя CORDIC векторизация ядра
Разумный выбор начальных значений позволяет алгоритму режима векторизации ядра CORDIC непосредственно вычислять величину и угол.
Входные аккумуляторы инициализируются к входным значениям координаты:
Угловой аккумулятор инициализируется, чтобы обнулить:
После итераций эти начальные значения приводят к следующим выходным параметрам как подходы:
Другие основанные на векторизации-ядром функциональные приближения возможны через пред - и последующая обработка и использование других начальных условий (см. [1,2]).
Пример
Предположим, что у вас есть некоторые измерения Декартовых (X, Y) данные, нормированные к значениям между [-1, 1), что вы хотите преобразовать в полярный (величина, угол) координаты. Также предположите, что у вас есть 16-битный целочисленный арифметический модуль, который может выполнить, добавляют, вычитают, переключают, и операции памяти. С таким устройством вы могли реализовать CORDIC векторизация ядра, чтобы эффективно вычислить величину и угол от входа (X, Y), координатные значения, без использования умножается или большие интерполяционные таблицы.
sumWL = 16; % CORDIC sum word length thNorm = -1.0:(2^-8):1.0; % Also using normalized [-1.0, 1.0] angle values theta = fi(thNorm, 1, sumWL); % Fixed-point angle values (best precision) z_NT = numerictype(theta); % Data type for Z xyCPNT = numerictype(1,16,15); % Using normalized X-Y range [-1.0, 1.0) thetaRadians = pi/2 .* thNorm; % real-world range [-pi/2 pi/2] angle values inXfix = fi(0.50 .* cos(thetaRadians), xyCPNT); % X coordinate values inYfix = fi(0.25 .* sin(thetaRadians), xyCPNT); % Y coordinate values niters = 13; % Number of CORDIC iterations inpLUT = fi(atan(2 .^ (-((0:(niters-1))'))) .* (2/pi), z_NT); % Normalized z_c2p = fi(zeros(size(theta)), z_NT); % Z array pre-allocation x_c2p = fi(zeros(size(theta)), xyCPNT); % X array pre-allocation y_c2p = fi(zeros(size(theta)), xyCPNT); % Y array pre-allocation for idx = 1:length(inXfix) % CORDIC vectoring kernel iterations [x_c2p(idx), y_c2p(idx), z_c2p(idx)] = ... fidemo.cordic_vectoring_kernel(... inXfix(idx), inYfix(idx), fi(0, z_NT), inpLUT, niters); end % Get the Real World Value (RWV) of the CORDIC outputs for comparison % and plot the error between the (magnitude, angle) values AnGain = prod(sqrt(1+2.^(-2*(0:(niters-1))))); % CORDIC gain x_c2p_RWV = (1/AnGain) .* double(x_c2p); % Magnitude (scaled by CORDIC gain) z_c2p_RWV = (pi/2) .* double(z_c2p); % Angles (in radian units) [thRWV,rRWV] = cart2pol(double(inXfix), double(inYfix)); % MATLAB reference magnitudeErr = rRWV - x_c2p_RWV; angleErr = thRWV - z_c2p_RWV; figure; subplot(411); plot(thNorm, x_c2p_RWV); axis([-1 1 0.25 0.5]); title('CORDIC Magnitude (X) Values'); subplot(412); plot(thNorm, magnitudeErr); title('Error between Magnitude Reference Values and X Values'); subplot(413); plot(thNorm, z_c2p_RWV); title('CORDIC Angle (Z) Values'); subplot(414); plot(thNorm, angleErr); title('Error between Angle Reference Values and Z Values');
Джек Э. Волдер, Тригонометрический Вычислительный Метод CORDIC, Транзакции IRE на Электронно-вычислительных машинах, Volume EC 8, сентябрь 1959, pp330-334.
Рэй Андрэка, обзор алгоритма CORDIC для основанных на FPGA компьютеров, Продолжений 1998 шестых международных симпозиумов ACM/SIGDA по Программируемым пользователем вентильным матрицам, 22-24 февраля 1998, pp191-200