Найдите глобальную переменную или несколько локальных минимумов

Функция, чтобы оптимизировать
Один глобальный минимум через GlobalSearch
Несколько локальных минимумов через MultiStart

Функция, чтобы оптимизировать

Этот пример иллюстрирует как GlobalSearch находит глобальный минимум эффективно, и как MultiStart находит намного больше локальных минимумов.

Целевая функция для этого примера имеет много локальных минимумов и уникальный глобальный минимум. В полярных координатах функция

f (r, t) = g (r) h (t),

где

$\begin{matrix} g (r) = (\sin (r) - \frac{\sin (2 r)}{2} + \frac{\sin (3 r)}{3} - \frac{\sin (4 r)}{4} + 4) \frac{r^{2}}{r + 1} \\ h (t) = 2 + \cos (t) + \frac{\cos (2 t - \frac{1}{2})}{2} . \end{matrix}$

Глобальный минимум в r = 0 с целевой функцией 0. Функциональный g (r) растет приблизительно линейно в r с повторяющейся пилообразной формой. Функциональный h (t) имеет два локальных минимума, один из которых является глобальной переменной.

Код для генерации фигуры

Один глобальный минимум через GlobalSearch

Запишите файл функции, чтобы вычислить цель:

function f = sawtoothxy(x,y)
[t r] = cart2pol(x,y); % change to polar coordinates
h = cos(2*t - 1/2)/2 + cos(t) + 2;
g = (sin(r) - sin(2*r)/2 + sin(3*r)/3 - sin(4*r)/4 + 4) ...
    .*r.^2./(r+1);
f = g.*h;
end

Создайте структуру задачи. Используйте 'sqp' алгоритм для fmincon:
```
problem = createOptimProblem('fmincon',...
    'objective',@(x)sawtoothxy(x(1),x(2)),...
    'x0',[100,-50],'options',...
    optimoptions(@fmincon,'Algorithm','sqp','Display','off'));
```
Стартовой точкой является [100,-50] вместо [0,0], так GlobalSearch не запускается в глобальном решении.
Подтвердите структуру задачи путем выполнения fmincon:
```
[x,fval] = fmincon(problem)

x =

   45.7332 -107.6469


fval =

  555.5422
```
Создайте GlobalSearch объект и набор итеративное отображение:
```
gs = GlobalSearch('Display','iter');
```

Запустите решатель:

rng(14,'twister') % for reproducibility
[x,fval] = run(gs,problem)

 Num Pts                 Best       Current    Threshold        Local        Local                 
Analyzed  F-count        f(x)       Penalty      Penalty         f(x)     exitflag        Procedure
       0      200       555.5                                   555.5            0    Initial Point
     200     1463   1.547e-15                               1.547e-15            1    Stage 1 Local
     300     1564   1.547e-15     5.858e+04        1.074                              Stage 2 Search
     400     1664   1.547e-15      1.84e+05         4.16                              Stage 2 Search
     500     1764   1.547e-15     2.683e+04        11.84                              Stage 2 Search
     600     1864   1.547e-15     1.122e+04        30.95                              Stage 2 Search
     700     1964   1.547e-15     1.353e+04        65.25                              Stage 2 Search
     800     2064   1.547e-15     6.249e+04        163.8                              Stage 2 Search
     900     2164   1.547e-15     4.119e+04        409.2                              Stage 2 Search
     950     2356   1.547e-15           477        589.7          387            2    Stage 2 Local
     952     2420   1.547e-15         368.4          477        250.7            2    Stage 2 Local
    1000     2468   1.547e-15     4.031e+04        530.9                              Stage 2 Search

GlobalSearch stopped because it analyzed all the trial points.

3 out of 4 local solver runs converged with a positive local solver exit flag.

x =

   1.0e-07 *

    0.0414    0.1298


fval =

   1.5467e-15

Можно получить различные результаты, начиная с GlobalSearch является стохастическим.

Решатель нашел три локальных минимума, и он нашел глобальный минимум около [0,0].

Несколько локальных минимумов через MultiStart

Запишите файл функции, чтобы вычислить цель:

function f = sawtoothxy(x,y)
[t r] = cart2pol(x,y); % change to polar coordinates
h = cos(2*t - 1/2)/2 + cos(t) + 2;
g = (sin(r) - sin(2*r)/2 + sin(3*r)/3 - sin(4*r)/4 + 4) ...
    .*r.^2./(r+1);
f = g.*h;
end

Создайте структуру задачи. Используйте fminunc решатель с Algorithm набор опции к 'quasi-newton'. Причины этого выбора:
- Проблема неограничена. Поэтому fminunc соответствующий решатель; см. Таблицу решений Оптимизации.
- Значение по умолчанию fminunc алгоритм требует градиента; смотрите Выбор Algorithm. Поэтому установите Algorithm к 'quasi-newton'.
```
problem = createOptimProblem('fminunc',...
    'objective',@(x)sawtoothxy(x(1),x(2)),...
    'x0',[100,-50],'options',...
    optimoptions(@fminunc,'Algorithm','quasi-newton','Display','off'));
```
Подтвердите структуру задачи путем выполнения его:
```
[x,fval] = fminunc(problem)

x =

    1.7533 -111.9488


fval =

  577.6960
```
Создайте MultiStart по умолчанию объект:
```
ms = MultiStart;
```

Запустите решатель для 50 итераций, записав локальные минимумы:

% rng(1) % uncomment to obtain the same result
[x,fval,eflag,output,manymins] = run(ms,problem,50)

MultiStart completed some of the runs from the start points.

9 out of 50 local solver runs converged with a positive local solver exit flag.

x =

 -142.4608  406.8030


fval =

   1.2516e+03


eflag =

     2


output = 

  struct with fields:

                funcCount: 8586
         localSolverTotal: 50
       localSolverSuccess: 9
    localSolverIncomplete: 41
    localSolverNoSolution: 0
                  message: 'MultiStart completed some of the runs from the start points.↵↵9 out of 50 local solver runs converged with a positive local solver exit flag.'


manymins = 

  1×9 GlobalOptimSolution array with properties:

    X
    Fval
    Exitflag
    Output
    X0

Можно получить различные результаты, начиная с MultiStart является стохастическим.

Решатель не нашел глобальный минимум около [0,0]. Это нашло 10 отличных локальных минимумов.

Постройте значения функции в локальных минимумах:
```
histogram([manymins.Fval],10)
```
Постройте значения функции в трех лучших точках:
```
bestf = [manymins.Fval];
histogram(bestf(1:3),10)
```

MultiStart запущенный fminunc от стартовых точек с компонентами, равномерно распределенными между –1000 и 1000. fminunc часто застревал в одном из многих локальных минимумов. fminunc превышенный его предел итерации или вычисление функции ограничивают 40 раз.

Документация